Determine:
e) a razão da PA em que a1= 17 e a32= -45
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Do enunciado, tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 17
b)trigésimo segundo termo (a₃₂): -45
c)número de termos (n): 32 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 32ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor da razão, pode-se afirmar, pela simples observação dos dois termos da progressão aritmética fornecida, que ele será negativo, porque do primeiro ao trigésimo segundo termo ter-se-ão números cada vez mais afastados do zero, cada vez menores e, para que isto ocorra necessariamente se deve somar a um termo qualquer um valor constante negativo.
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(II)Aplicação das informações fornecidas pelo problema na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se a razão:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₃₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
-45 = 17 + (32 - 1) . (r) ⇒
-45 = 17 + (31) . (r) ⇒ (Passa-se 17 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
-45 - 17 = 31.r ⇒
-62 = 31.r
-62/31 = r (Veja a Observação abaixo.)
-2 = r ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
r = -2
Observação: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da divisão: dois sinais diferentes, +/- ou -/+, resultam sempre em sinal de negativo (-).
Resposta: A razão da P.A. é -2.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo r = -2 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que a razão realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₃₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
-45 = a₁ + (32 - 1) . (-2) ⇒
-45 = a₁ + (31) . (-2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
-45 = a₁ - 62 ⇒
-45 + 62 = a₁ ⇒
17 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 17 (Provado que r = -2.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-).
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resolução!
a32 = a1 + 31r
- 45 = 17 + 31r
- 45 - 17 = 31r
- 62 = 31r
r = - 62 / 31