Question

Determine dominio da função ME AJUDEM POR FAVOR

√(x²-9x-10)(2+3x)
-----------------------
x²+3x-4

Answer 1

Bom dia, Laura.

Eis aqui nosso problema

$\frac{ \sqrt{ ( x^{2} -9x-10)}*(2+3x)}{ x^{2} +3x -4}$

Perceba que para quaisquer divisões o denominador deve ser um número diferente de zero, caso contrário, não existe divisão. Imagine uma maçã dividida para 0 pessoas? Ela continuaria guardada na geladeira.
Nessa questão, o nosso denominador é igual a x²+3x-4. Mais acima eu disse que o denominador deveria ser diferente de zero, matematicamente falando, temos que:

$x^{2} +3x-4 \neq 0 \\ x' \neq 1 \\ x'' \neq -4$

Encontramos os valores para x que fariam com que o  denominador fosse igual a zero. Portanto, para concluir:

D= {x∈R / x≠1 e x≠-4}

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Laura, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Pede-se o domínio da seguinte expressão:
f(x) = √[x²-9x-10)*(2+3x)] / (x²+3x-4).
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que a função da sua questão tem o numerador sob um radical de índice par (note que raiz quadrada tem índice "2", apenas não se coloca. E "2" é par). Então radicais de índice par só aceitam  radicandos MAIORES ou IGUAIS a zero.
Assim, deveremos impor isso para o numerador:

(x²-9x-10)*(2+3x) ≥ 0     . (I)

Vamos deixar "guardada" a expressão (I) acima, pois daqui a pouco iremos precisar dela.

ii) Por sua vez, o denominador (x²+ 3x - 4) terá que ser, OBRIGATORIAMENTE, diferente de zero. E isso é óbvio, pois não há divisão por zero. Assim, teremos que impor isto para o denominador:

x² + 3x - 4 ≠ 0      . (II)

Vamos também deixar "guardada" a expressão (II) acima, pois daqui a pouco vamos precisar dela.

iii) Agora veja: conforme vimos, as expressões (I) e (II) deverão obedecer às suas respectivas condições de existência, pois o numerador terá que ser MAIOR ou IGUAL a zero, enquanto o denominador terá que ser diferente de zero. E note que quem faz uma equação ser igual a zero são suas raízes. Logo, o denominador terá que ser diferente das suas raízes.

iii.a) Então vamos fazer o seguinte: para o numerador temos isto:

(x² - 9x - 10)*(2 + 3x) ≥ 0 --- Note que temos aqui o produto entre duas funções: f(x) = x²-9x-10 e g(x) = 2+3x, cujo produto terá que ser maior ou igual a zero.
Então faremos assim: encontraremos as respectivas raízes de f(x) e de g(x) e depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas. Assim, teremos:

f(x) = x²-9x-10 ---> raízes: x²-9x-10 = 0 ---> x' = -1; e x'' = 10
g(x) = 2+3x ---> raízes: 2+3x = 0 ---> 3x = - 2 ---> x = - 2/3.

iii.b) Por sua vez, para o denominador, temos a função h(x) = x²+3x-4. Assim:

h(x) = x²+3x-4 ---> raízes: x²+3x-4 = 0 ---> x' = -4; x'' = 1.

iv) Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma delas. Note que a equação f(x) só será maior ou igual a zero para valores extrarraízes (fora das raízes); por sua vez, a equação g(x) será negativa para valores de "x" antes da raiz e positiva para valores de "x" após a raiz. E, como o produto dessas duas funções do numerador terá que ser maior ou igual a zero, então teremos:

a) f(x) = x²-9x-10 .....+ + + + ++ + + +  (-1) - - - - - - - - - - - - - - - - -  (10) + + + + +
b) g(x) = 2 + 3x ....... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (-2/3) + + + + + + + + + + + + + +
c) = a*b.................... - - - - - - - - - - -  - (-1)++++(-2/3)- - - - - - - - --  (10) + + + + + +

Assim, como você viu aí em cima, então o produto das duas funções do numerador só será maior ou igual a zero se "x" estiver nos intervalos em que há sinais de mais no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x). Logo, valerá o seguinte intervalo: -1 ≤ x ≤ -2/3 , ou x ≥ 10..

Agora vamos ver o que vale para o denominador. No denominador, basta que "x" seja diferente das raízes, que são: x' = -4 e x'' = 1. Assim, para a equação h(x) = x²+3x-4, deveremos ter isto:

c) h(x) = x²+3x-4...... _______ (-4) _____________(1) _______________

Ou seja, como queremos que o denominador seja diferente de zero, então "x" jamais poderá assumir os valores de "-4" e de "1", pois se assumir um desses valores o denominador zerará e não existe divisão por zero. O denominador, como você pode notar, poderá assumir quaisquer outros valores, desde que sejam diferentes de "-4" e de "1". 

v) Então vamos fazer o seguinte: marcaremos o que valerá para o numerador (que é o produto entre f(x) e g(x) e que já vimos que o intervalo deverá ser: -1 ≤ x ≤ -2/3 , ou x ≥ 10) e para o  denominador, já vimos que poderá ser qualquer número desde que seja diferente de (-4) e de (1).
Então marcaremos o que vale para o numerador e para o denominador com o símbolo //////////// . A resposta será a intersecção entre o que vale para o numerador e para o denominador. E essa intersecção marcaremos com o símbolo |||||||||.

Assim, teremos:

a) (x²-9x-10*(2x+3)..._____________(-1) / / / / / /  (-2/3) ________ (10) / / / / / / /
b) x² + 3x - 4 ............. / / / / /    (-4) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /  (1) / / / / / / / / / / / / / /
c) Intersecção........... ____________(-1) | | | | | | | | |(-2/3) ________ (10) | | | | | | |

Assim, como você viu, a intersecção ficou no seguinte intervalo, que será o domínio pedido da expressão da sua questão:

-1 ≤ x ≤ - 2/3, ou x ≥ 10 ---- Esta é a resposta. Ou seja, este será o domínio da expressão da sua questão.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ -2/3, ou x ≥ 10}.

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

D = [-1; -2/3] ∪ [10; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.