Question

"Determine dois números tais que, cada um somado com o quadrado do outro, forneça um quadrado perfeito." Como Diofanto tentava sempre escrever os problemas usando apenas uma incógnita, em vez de chamar os números de x e y, chamou-os de x e 2x + 1 e escolhe um quadrado perfeito particular (2x – 2)².

Answer 1

Sendo x e 2x + 1 os números escolhidos, pelo enunciado, temos que ao somar um com o quadrado do outro encontramos um quadrado perfeito, que neste caso vale (2x - 2)². Expandindo esta expressão, temos:

(2x - 2)² = 4x² - 8x + 4

A primeira situação é:

x + (2x + 1)² = 4x² - 8x + 4

x + 4x² + 4x + 1 = 4x² - 8x + 4

5x + 1 = -8x + 4

13x = 3

x = 3/13

(2x + 1) = 19/13

A segunda situação é:

x² + 2x + 1 = 4x² - 8x + 4

3x² - 10x + 3 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, temos:

x' = 3 e x'' = 1/3

Para x', temos:

x = 3

2x + 1 = 7

Para x'', temos:

x = 1/3

2x + 1 = 5/3