Question

Determine dois números irracionais cuja soma é 2 e cujo produto é -1.

Answer 1

Sejam $x$ e $y$ esses números. Temos que $x+y=2$ e $xy=-1$.

Como $x+y=2$ temos que $y=2-x$.

Usando isso no produto teremos:

$xy=x(2-x)=2x-x^2=-1$

$x^2-2x-1=0$

Essa equação é da forma $ax^2+bx+c=0$ onde $a=1$, $b=-2$ e $c=-1$.

Usando a fórmula de Bhaskara:

$\displaystyle{x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle{x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$

$\displaystyle{x=\frac{2\pm \sqrt{4+4}}{2}$

$\displaystyle{x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}$

$\displaystyle{x=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle{x=1\pm\sqrt{2}$

Temos duas soluções: $x=1+\sqrt{2}$ e $x=1-\sqrt{2}$

Para achar $y$ temos que $x+y=2$. Logo teremos:

$x+y=1+\sqrt{2}+y=2$

$y=2-1-\sqrt{2}$

$y=1-\sqrt{2}$

e

$x+y=1-\sqrt{2}+y=2$

$y=2-1+\sqrt{2}$

$y=1+\sqrt{2}$

Encontramos as seguintes soluções:

$S_1=(x,y)=(1+\sqrt{2},1-\sqrt{2})$

$S_2=(x,y)=(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$

Elas são idênticas e equivalentes, já que as equações são simétricas.

Apenas verificando:

$1+\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2$

e

$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2=-1$

Logo os números procurados são $1+\sqrt{2}$ e $1-\sqrt{2}$ .