Question

determine cinco números em PA crescente sabendo que o produto entre o menor e o maior é 26 e a soma dos outros três é 24​

Answer 1

Resposta:

$a_1=8-2\times \sqrt{\frac{19}{2}}$

$a_2=8-\sqrt{\frac{19}{2}}$

$a_3=8$

$a_4=8+\sqrt{\frac{19}{2}}$

$a_5=8+2\times \sqrt{\frac{19}{2}}$

Explicação passo a passo:

Vamos chamar esses 5 elementos de $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ e $a_5$

sabemos que em uma PA a razão (ou regra) que diz qual o próximo elemento pode ser calculado como

$r=a_n-a_{n-1}$

então

$a_2=a_1+r\\a_3=a_2+r=a_1+r+r=a_1+2r\\a_4=a_3+r=a_2+r+r=a_2+2r=a_1+r+2r=a_1+3r\\a_5=a_4+r=a_3+r+r=a_3+2r=a_2+r+2r=a_2+3r=a_1+r+3r=a_1+4r$

A questão ta falando pra gente que

$a_1\times a_5=26$

e que

$a_2+a_3+a_4=24$

Podemos escrever essas igualdades em relação a razão

$a_1\times(a_1+4r)=26$

e

$a_1+r+a_1+2r+a_1+3r=24\\3a_1+6r=24\\a_1+2r=8\\(a_1+r)+r=a_2+r=a_3=8$

Temos que

$a_1\times a_5=26\\(a_3-2r)\times(a_3+2r)=26\\a_3^2-4r^2=26\\8^2-4r^2=26\\64-4r^2=26\\64-26=4r^2\\38=4r^2\\\frac{38}{4}=r^2\\r=\sqrt{\frac{38}{4}}=\sqrt{\frac{19}{2}}$

Então temos que

$a_3=8$

$a_2=a_3-r=8-\sqrt{\frac{19}{2}}$

$a_1=a_2-r=8-\sqrt{\frac{19}{2}}-\sqrt{\frac{19}{2}}=8-2\times \sqrt{\frac{19}{2}}$

$a_4=a_3+\sqrt{\frac{19}{2}}=8+\sqrt{\frac{19}{2}}$

$a_5=a_4+r=8+\sqrt{\frac{19}{2}}+\sqrt{\frac{19}{2}}=8+2\times \sqrt{\frac{19}{2}}$

Note que

$a_2+a_3+a_4=a_3-r+a_3+a_3+r=3a_3=3\times8=24$

e que

$a_1\times a_5=(8-2\times \sqrt{\frac{19}{2}})\times(8+2\times \sqrt{\frac{19}{2}})\\a_1\times a_5=8^2-4\times\frac{19}{2}=64-38=26$

ou seja, ta certinho os valores com as condições e temos que $a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > a_5$, que caracteriza uma PA crescente, poderiamos observar que $r=\sqrt{\frac{19}{2}} > 0$, que também caracteriza a PA crescente

(foi mais trabalhoso do que eu pensei, credo)

bons estudos