Question

determine cinco números em P.A., sabendo que a sua soma é 40 e que a soma dos inversos dos extremos é 1/3

Answer 1

Vamos lá

Veja, Luana, se esses 5 números estão  em PA, então poderemos chamá-los assim:

1º termo: x-2r
2º termo: x-r
3º termo: x
4º termo: x+r
5º termo:x+2r

Agora vamos parte, tentando fazer tudo passo a passo, para um melhor entendimento:


i) Como a soma dos 5 termos é  40. Então faremos:

x-2r + x-r + x + x+r + x+2r = 40 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

5x = 40
x = 40/5
x = 8 <---- Este será o valor de "x".


ii) Como a soma dos inversos dos extremos é 1/3 e considerando que os dois extremos são: x-2r e x+2r, então teremos:

1/(x-2r) + 1/(x+2r) = 1/3 ------ como  x = 8, então ficaremos:

1/(8-2r) + 1/(8+2r) = 1/3 ----mmc, no 1º membro =  (8-2r)*(8+2r). Logo, utilizando-o apenas no 1º membro, teremos:

[(8+2r)*1 + (8-2r)*1]/[(8-2r)*(8+2r)] = 1/3 

Agora veja: efetuando os  produtos indicados no numerador e considerando que, no denominador, (8-2r)*(8+2r)  = (64-4r²), ficaremos com:

[8+2r + 8-2r]/[64-4r²) = 1/3 ---- reduzindo  os termos semelhantes, temos:

(16 ) / (64-4r²)=  1/3 ---- multiplicando em cruz, teremos:
3*16 = (64-4r²)*1  ---- ou apenas:
48 =  64 - 4r² ----- passando "-4r²" para  o 1º membro e "48" para o 2º, ficaremos assim:

4r² = 64 - 48
4r² = 16 ---- dividindo ambos membros por "4", ficaremos apenas com:

r²  = 4
r =  +-√(4) ------ como  √(4) = 2, teremos:
r = +- 2

Assim, como você viu, a razão (r) poderá ser "-2" ou "2". 
Se considerarmos que r = - 2, iremos ter uma PA decrescente.  Se, no entanto, considerarmos r = 2, teremos uma PA crescente.
Contudo, os 5 números serão os mesmos: na PA decrescente teremos o 1º termo como o maior e vai decrescendo até o 5º termo; por sua vez, na PA crescente teremos o 1º termo como o menor e vai crescendo até o  5º termo.

Bem, como os  números serão os mesmos, considerando-se a PA decrescente ou crescente, então vamos considerar que ela será crescente e, como tal, tomaremos a razão igual a "2". Com isso, então 5 termos dessa PA serão:

1º termo: x-2r ------> 8-2*2 ---> 8 - 4 = 4
2º termo: x - r -------> 8 - 2 -----------> = 6
3º termo: x ---------> 8 ------------------> = 8
4º  termo: x+r --->  8+2 --------------> = 10
5º termo: x+2r  ---> 8 +2*2 --> 8+4 = 12

Assim, se a PA for crescente, os 5 termos serão: (4; 6; 8; 10; 12), exatamente na forma como consideramos  aí em cima.
E, se for decrescente, os números serão os mesmos, mas com a seguinte conformação: (12; 10; 8;  6; 4).

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.