Question

Determine, caso existam, a inversa das matrizes abaixo, atrav´es das opera¸c˜oes elementares.

Answer 1

Para determinar a matriz inversa das matrizes dadas no enunciado, podemos utilizar o método da Eliminação de Gauss Jordan.

Para isso, vamos colocar a matriz que queremos determinar a inversa no lado esquerdo e a matriz identidade no lado direito, da seguinte maneira:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&1&2\\1&2&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

O nosso objetivo é fazer com que a matriz da esquerda vire a matriz identidade. Para isso, realizaremos algumas operações nas duas matrizes ao mesmo tempo. A matriz que ficará no lugar da identidade é a inversa.

a) Sendo assim:

Fazendo L2 - 2L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-1&0\\1&2&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Fazendo L3 - L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-1&0\\0&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\-1&0&1\end{array}\right]$

Fazendo -L2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&0\\0&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&-1&0\\-1&0&1\end{array}\right]$

Fazendo L3 - L2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&-1&0\\-3&1&1\end{array}\right]$

Fazendo L1 - L3:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4&-1&-1\\2&-1&0\\-3&1&1\end{array}\right]$

Fazendo L1 - L2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2&0&-1\\2&-1&0\\-3&1&1\end{array}\right]$.

Portanto, a matriz inversa é: $\left[\begin{array}{ccc}2&0&-1\\2&-1&0\\-3&1&1\end{array}\right]$.

b) Agora, faremos o mesmo procedimento para a matriz do item b):

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\-1&3&1\\0&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$.

Fazendo L2 + L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&3&2\\0&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$.

Fazendo L2/3:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&2/3\\0&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1/3&1/3&0\\0&0&1\end{array}\right]$.

Fazendo L3 - L2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&2/3\\0&0&1/3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1/3&1/3&0\\-1/3&-1/3&1\end{array}\right]$.

Fazendo 3L3:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&2/3\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1/3&1/3&0\\-1&-1&3\end{array}\right]$.

Fazendo L2 - 2L3/3:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&-2\\-1&-1&3\end{array}\right]$.

Fazendo L1 - L3:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2&1&-3\\1&1&-2\\-1&-1&3\end{array}\right]$.

Portanto, a matriz inversa é $\left[\begin{array}{ccc}2&1&-3\\1&1&-2\\-1&-1&3\end{array}\right]$