Question

Determine as transformadas de Laplace das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas.

f(t) = t^3 e^-t

Answer 1

Vamos aplicar a Transformada de Laplace na função:

$f(t)=t^3e^{-t}\\\\ \mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{t^3e^{-t}\}$

Considere que $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$. Pelo primeiro Teorema do Deslocamento:

$\mathcal{L}\{e^{ct}g(t)\}=G(s-c)$

Então, se $f(t)=e^{-t}\cdot g(t)$, onde $g(t)=t^3$:

$\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{t^3e^{-t}\}\\\\ F(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}g(t)\}\\\\ F(s)=G(s-(-1))\\\\ F(s)=G(s+1)$

Mas, $G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}=\mathcal{L}\{t^3\}=\dfrac{3!}{s^4}$. Logo:

$F(s)=\dfrac{3!}{(s+1)^4}\\\\ \boxed{\mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{6}{(s+1)^4}}$