Question

Determine as seguintes integrais ao longo dos caminhos fechados abaixo

Answer 1

Resposta:

0

Explicação passo-a-passo:

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1. A parametrização da curva C é:

$\vec{\mathsf{F}}\mathsf{(t)=(sen\,t,cos\,t,\pi)}\\\\\mathsf{x(t)=sen\,t}\\\\\mathsf{y(t)=cos\,t}\\\\\mathsf{z(t) =\pi}$

2. Calcule as derivadas:

$\mathsf{x'(t)=cos\,t\,dt}\\\\\mathsf{y'(t)=-sen\,t\,dt}\\\\\mathsf{z(t) =0}$

3. Os limites de integração são:

$\mathsf{0 \leq t \leq 2\pi}$

4. Substitua na integral original:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \oint_C(2xy+4)\,dx+(x^2+z^2)\,dy+2zy\,dz=}\\\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}(2sen\,t\,cos\,t+4)\,cos\,t\,dt+(sen^2\,t+\pi^2)\cdot(-sen\,t)\,dt+0}$

$=\mathsf{\displaystyle 2\int_0^{2\pi}sen\,t\,cos^2\,t\,dt+4\int_0^{2\pi}cos\,t\,dt-\int_0^{2\pi}sen^3\,t\,dt-\pi^2\int_0^{2\pi}sen\,t\,dt}$

5. Lembre-se que as integrais de seno e cosseno entre 0 e 2π são nulas (vide figuras abaixo). Logo, temos:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle 2\int_0^{2\pi}sen\,t\,cos^2\,t\,dt-\int_0^{2\pi}sen^3\,t\,dt}\\\\\therefore \mathbb{I}=\mathbb{I}_{\mathsf{1}}+\mathbb{I}_{\mathsf{2}}$

Agora, vamos calcular as integrais separadamente.

• Cálculo de I₁ :

$\mathbb{I}_{\mathsf{1}}=\mathsf{\displaystyle 2\int_0^{2\pi}sen\,t\,cos^2\,t\,dt}$

$\mathsf{u=cos\,t}\\\\\mathsf{du=-sen\,t\,dt}$

$\mathbb{I}_{\mathsf{1}}=-\mathsf{2\displaystyle \int u^2\,du=-2\dfrac{u^3}{3}}\\\\=\mathsf{-\dfrac{2}{3}\cdot[cos\,t]_0^{2\pi}=-\dfrac{2}{3}(1-1)}\\\\=\mathsf{0}$

• Cálculo de I₂:

$\mathbb{I}_{\mathsf{2}}=-\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}sen^3\,t\,dt}$

$=-\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}sen\,t\cdot sen^2\,t\,dt=-\int_0^{2\pi}sen\,t\cdot\bigg(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos\,2t\bigg)\,dt}$

$=-\mathsf{\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,t\,dt+\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,t\,cos\,2t\,dt}$

1. A primeira dessas integrais é nula (veja figura abaixo), portanto basta calcular a segunda integral.

$\mathbb{I}_{\mathsf{2}}=\mathsf{\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,t\,cos\,2t\,dt}}$

2. Para avaliar essa integral, vamos usar a fórmula do seno da soma:

$\mathsf{sen\,(3t)=sen\,(t+2t)=sen\,t\,cos\,2t +sen\,2t\,cos\,t}\\\\\therefore \mathsf{sen\,t\,cos\,2t=sen\,3t-sen\,2t\,cos\,t}$

3. Faça a substituição:

$\mathbb{I}_{\mathsf{2}}=\mathsf{\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,3t\,dt-\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,2t\,cos\,t\,dt}}$

4. Novamente, a primeira integral é nula (veja figura abaixo), temos portanto:

$\mathbb{I}_{\mathsf{2}}=\mathsf{\displaystyle-\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,2t\,cos\,t\,dt}}$

5. Faça a substituição:

$\mathsf{sen\,2t=2\,sen\,t\,cos\,t}$

Logo:

$\mathbb{I}_{\mathsf{2}}=\mathsf{\displaystyle-\int_0^{2\pi}sen\,t\,cos^2\,t\,dt}}$

que a menos de uma constante é igual a integral I1 que calculamos acima, então:

$\mathbb{I}_{\mathsf{2}}=\mathsf{0}$

6. Por fim, obtemos:

$\mathbb{I}=\mathbb{I}_{\mathsf{1}}+\mathbb{I}_{\mathsf{2}}=\mathsf{0+0}\\\\\therefore \mathbb{I}=\mathsf{0}$

Conclusão: o valor da integral de linha é 0.

Bons estudos!

Equipe Brainly