Question

Determine as raízes das equações fracionarias abaixo. Determine antes a condição de existência de cada uma
A)x-3/2+1/x=-3
B) x/x+1-x/1-x=8/3
C)2 /x^2- x/x-1=2
D)1/3-x+6/x^2-9=2/x
E)2x^2+2/x^2-1-2/x-1=x-2/x+1

Answer 1

Alternativa (A): y' = -2   y'' = -1

Alternativa (B): x = - 5/2

Alternativa (C): x = 1

Ao dizer raízes de uma equação, nos referimos aos resultados finais de uma equação qualquer. Em equações do segundo grau por exemplo, as raízes da equação podem ser pontos onde a reta da equação toca o eixo X, ou caso não toque o eixo X a equação não possui raízes reais.

(A) x-3/2 + 1/x = -3

x² - 3x + 2 = -6x

x² + 3x + 2 = 0

Δ = b² - 4.a.c

Δ =  9 - 4.2 = 1      (Com um Δ > 0 , 2 raízes reais e distintas)

Resolvendo a equação por Bhaskara:

$y = \frac{-b+-\sqrt{b^2-4.a.c} }{2.a}$

y' = -2

y'' = -1

Agora utilizaremos uma forma mais resumida, simplificando as expressões, calculando o delta e encontrando as raízes (caso existam).

(B)  (x/x+1) + (1-x/1-x) = 8/3

3x + 3x + 3 = 8x + 8

2x = -5

x = - 5/2

(C) 2/x² - x/x-1 = 2

O denominador comum entre x² e x-1 = x²(x-1)

2x - 2 - 2x³ = 2x³ - 2x²

4x³ - 2x² - 2x + 2 = 0

2x² . (x - 1) - 2(x - 1) = 0

(x - 1) . (2x² -2) = 0

Se algum dos termos da equação for igual a 0, isso será a raiz da equação.

(x - 1) = 0

x = 1

(2x² -2 ) = 0

x² = 1

x' e x'' = 1

(D) (1/3-x) +6/(x²-9) = 2/x

- 1/(x-3) + 6/(x+3).(x-3) = 2/x

Simplificando a equação:

-1.(x+3)(x) + 6.x = 2(x²-9)

-x² -3x + 6x = 2x² - 18

x² - 3x - 18 = 0

Δ = 9 + 72 = 81 ( Δ > 0 , duas raízes reais e distintas)

y'= - 3

y''= 6

(E) (2x²+2)/(x²-1)-2/(x-1)=x-2/x+1

(x²-1) = (x+1)(x-1)

(2x²+2)/(x+1)(x-1) - 2/(x-1) = x-2/x+1

(2x²+2) - 2.(x+1) = (x-2)(x-1)

2x² + 2 - 2x + 2 = x² - 2x - x + 2

x² + x + 2 =0

Δ = 1 - 4.2 = -7 (Δ < 0 , não possui raízes reais)