Question

Determine as integrais curvilíneas, onde C é o caminho sobre a curva, onde z=x²+y² e x=y, de A = (0,0,0) para B = (1,1,2).

Answer 1

Resposta:

7

Explicação passo-a-passo:

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1. Para esse caso vou usar a variável x como parâmetro da curva, temos:

$\mathsf{x=x}\\\\\mathsf{y=x}\\\\\mathsf{z=x^2+y^2=x^2+x^2 \quad\rightarrow \quad z=2x^2}$

2. Calcule as derivadas:

$\mathsf{dx = dx}\\\\\mathsf{dy =dx}\\\\\mathsf{dz=4x\,dx}$

3. Como x varia de 0 (ponto A) até 1 (ponto B), esses são nossos limites de integração.

4. Substituindo na integral original, obtemos:

$\mathsf{\displaystyle \int_C2xy\,dx+x^2\,dy+3z\,dz=\int_0^12x^2\,dx+x^2\,dx+3\cdot(2x^2)\cdot4x\,dx}}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^13x^2+24x^3\,dx=\dfrac{3x^3}{3}+\dfrac{24x^4}{4}\bigg|_0^1}$

$=\mathsf{x^3+6x^4\bigg|_0^1=1+6-0}\\\\=\mathsf{7}$

5. Observe que esse é o mesmo resultado da tarefa https://brainly.com.br/tarefa/34106756. Isso significa que o valor da integral de linha não depende da parametrização da curva, desde que a curva seja percorrida pelo parâmetro (x ou t) uma única vez quando cresce do ponto inicial ao ponto final.

Conclusão: o valor da integral é 7.

Bons estudos! :D

Equipe Brainly