Question

Determine as equaçoes reduzidas das circunferencias que passam pelos pontos A(1,2)e B(3,0)e são tangentes à reta y-4=0.

Answer 1

A chave para a solução deste problema está na observação de que:

1) O centro de qualquer circunferência que atendem ao enunciado do problema são pontos que pertencem à reta mediatriz do segmento AB

2) Os centros das circunferências procuradas também estão nas respectivas retas verticais que passam pelo ponto de tangência com a reta y-4=0

3) A distância do centro da circunferência ao respectivo ponto de tangência com a reta y-5=0 é igual a distância do centro ao ponto A (ou ao ponto B)

a) Vamos determinar a equação da reta "r" mediatriz de AB:

Cálculo do coeficiente angular da reta suporte do segmento AB:

$m=\frac{y_b-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-1}{0-2}=\frac{2}{-2}= -1$

Como a mediatriz é perpendicular ao segmento AB seu coeficiente angular é
1.

O Ponto médio de AB é:
$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+3}{2}=2\\ \\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+2}{2}=1\\ \\ M(2,1)$


Podemos então escrever a equação da mediatriz, com m=1 e M(2,1)

y-1=1(x-2)
y-1=x-2
y=x-2+1
y=x-1   (Esta informação será usada a seguir)

b) Vamos chamar de E o ponto de tangência de qualquer das circunferências procuradas. Sabemos que E pertence à reta y-4=0 ou seja y = 4

Logo podemos escrever as coordenadas de E da seguinte forma: E(a,4) onde "a" é a abscissa a ser determinada.

O centro da circunferência também tem abscissa "a", mas como o centro pertence à mediatriz de AB (y=x+1)   sabemos que se x=a então y=a-1 e as coordenadas do centro serão:  C(a,a-1)

c) Agora vamos determinar o valor de "a" sabendo que as distâncias CE e CA são iguais (poderia ser usada também CE = CB)

Vamos escrever a igualdade CE = DA:

$d_{CE}=d_{CA}\\ \\ \sqrt{(a-a)^2+(a-1-4)^2}=\sqrt{(a-1)^2+(a-1-2)^2}\\ \\ (a-a)^2+(a-5)^2=(a-1)^2+(a-3)^2\\ \\ 0^2+a^2-10a+25=a^2-2a+1+a^2-6a+9\\ \\ a^2+2a-15=0$

Esta equação (Bháskara) produz dois resultados, a=-5 ou a=3

Logo os centros das duas circunferência são:

(-5,-6) e (3,2)

d) Antes de escrever as equações solicitadas vamos determinar o raio de cada uma delas:

d1)  

$r=CE=\sqrt{(x_E-x_C)^2+(y_E-y_C)^2}\\\\r=\sqrt{(-5-(-5))^2+(4-(-6))^2}=\sqrt{(0)^2+10^2}=10$

d2)
$r=CE=\sqrt{(x_E-x_C)^2+(y_E-y_C)^2}\\ \\ r=\sqrt{(3-3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{0+4}=2$

Finalmente escrevemos as equações solicitadas:

$\boxed{(x-3)^2+(y-2)^2=4^} \\ \\ e\\ \\ \boxed{(x+5)^2+(y+6)^2}$