Question

Determine as equações paramètricas da reta t que passa pelo ponto P (1, -2-3) e forma comos eixos x, y ez, ângulos de 60°, 90° e 30° respectivamente.​

Answer 1

Uma das possibilidades para as equações paramétricas da reta descrita são:

$\begin{cases}x=1-0.5 \lambda \\ y = -2 + 2 \lambda\\ z = -3 + 3,87 \lambda\end{cases}$

Equações paramétricas da reta

Para determinar as equações paramétricas de uma reta no espaço precisamos de um ponto pelo qual a reta passa e da direção da reta, essa última informação é descrita por um vetor diretor.

A questão nos fornece que a reta passa pelo ponto P(1, -2, -3), logo, precisamos encontrar um vetor diretor para utilizar na equação.

O vetor irá fornecer a direção da reta, logo, o seu comprimento e sentido não interferem na reta. Nesse caso, variando o comprimento ou o sentido de um vetor diretor obtemos a mesma reta, mas representada de uma forma distinta.

Ou seja, podemos supor que o comprimento do vetor é 1, isso irá facilitar nossos cálculos e não irá influenciar na reta encontrada. Temos que, utilizando os ângulos dados na questão e denotando por u = (x, y, z) o vetor diretor:

$u \cdot (1, 0, 0) = \vert u \vert \cdot \vert (1, 0, 0) \vert \cdot cos(60^o) \Rightarrow x = 1/2 = 0,5$

$u \cdot (0, 1, 0) = \vert u \vert \cdot \vert (0, 1, 0) \vert \cdot cos(90^o) \Rightarrow y = 0$

$u \cdot (0, 0, 1) = \vert u \vert \cdot \vert (0, 0, 1) \vert \cdot cos(30^o) \Rightarrow z = \sqrt{3} /2 = 3,87$

Utilizando o vetor diretor encontrado e as coordenadas do ponto P podemos escrever as seguintes equações paramétricas:

   $\begin{cases}x=1-0.5 \lambda \\ y = -2 + 2 \lambda\\ z = -3 + 3,87 \lambda\end{cases}$

Observe que, variando o vetor diretor podemos encontrar outras formas de representar a reta, mas o conjunto de pontos descritos deve continuar o mesmo. Outras possíveis soluções são:

$\begin{cases}x=1- \lambda \\ y = -2 + 4 \lambda\\ z = -3 + 7,74 \lambda\end{cases}$

$\begin{cases}x=1+0.5 \lambda \\ y = -2 - 2 \lambda\\ z = -3 - 3,87 \lambda\end{cases}$

Observe que a direção dos vetores nessas duas outras soluções não se alterou.

Para mais informações sobre equações paramétricas de uma reta, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/50463937

#SPJ1