Question

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (1, −2, −1) e intercepta

as retas reversas r :

x = z − 1

y = 2z − 3


e s :

x = z − 2

y = −z + 1

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{t : \ X \ = \ (1,2,-1) \ + \ \nu \ \cdot (-1,1,2)}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos colocar as retas $\mathsf{r}$ e $\mathsf{s}$ na forma vetorial.

Colocando um parâmetro: $\mathsf{z \ = \ t}$

$\mathsf{r: \ \begin{cases}\mathsf{x \ = \ -1 \ + \ t} \\ \mathsf{y \ = \ -3 \ + \ 2\cdot t} \\ \mathsf{z \ = \ \ \ \ 0 \ + \ t}\end{cases}}$

$\mathsf{r: \ X \ = \ (-1,-3,0) \ + \ \lambda \cdot (1,2,1)}$

$\mathsf{s: \ \begin{cases}\mathsf{x \ = \ -2 \ + \ t} \\ \mathsf{y \ = \ 1 \ - \ t} \\ \mathsf{z \ = \ \ 0 \ + \ t}\end{cases}}$

$\mathsf{s: \ X \ = \ (-2,1,0) \ + \ \mu \cdot (1,-1,1)}$    

Seja $\mathsf{t \ : \ X \ = \ (1,-2,-1) \ + \ \nu \ (a,b,c)}$. $\mathsf{(a,b,c) \ = \ \vec{v}}$ é o vetor diretor dessa reta.

Perceba que $\mathsf{P \ = \ (1,-2,-1)}$ não pertence nem a $\mathsf{r}$ nem a $\mathsf{s}$.

Sendo $\mathsf{A \ \in \ r \ = \ (-1.-3,0)}$, $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AP}} \ = \ P \ - \ A \ = \ (2,1,-1)}$.

Como $\mathsf{r \cap \ t \ \neq \ \varnothing}$, então $\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AP}} \ \in \ Sp(\vec{v}, \ (1,2,1))}$. Ou seja, como as duas retas são concorrentes, qualquer vetor que liga dois pontos distintos das duas (em particular, $\overrightarrow{\mathsf{AP}}$) está no plano gerado pelos vetores diretores das duas.

Portanto, sendo esses três vetores coplanares, $\mathsf{\big[\overrightarrow{\mathsf{AP}}, \vec{v}, \ (1,2,1)\big] \ = \ 0}$.

$\left[\begin{array}{ccc}\mathsf{2}&\mathsf{1}&\mathsf{-1}\\\mathsf{a}&\mathsf{b}&\mathsf{c}\\\mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{1}\end{array}\right] \mathsf{\ = \ 0}$

Resolvendo, achamos $\mathsf{b \ = \ a \ + \ c}$.

Vale o mesmo raciocínio para a outra reta, usando agora $\mathsf{B \ =\ (-2,1,0) , \ \overrightarrow{\mathsf{BP}} \ = \ (3,-3,-1)}$ e o vetor diretor de $\mathsf{s, \ (1,-1,1)}$.

$\left[\begin{array}{ccc}\mathsf{3}&\mathsf{-3}&\mathsf{-1}\\\mathsf{a}&\mathsf{b}&\mathsf{c}\\\mathsf{1}&\mathsf{-1}&\mathsf{1}\end{array}\right] \mathsf{\ = \ 0}$

Resolvendo isso, $\mathsf{a \ + \ b \ = \ 0}$.

Temos duas equações para três incógnitas. Podemos deixar uma das variáveis como parâmetro para as outras, e assim tomar qualquer terna que satisfaça esse sistema (de preferência a mais simples diferente de $\mathsf{(0,0,0)}$). Assim, acharemos um dos infinitos múltiplos vetores que satisfazem ambas equações.

Teremos, por exemplo, ao manipular as equações, um vetor diretor do tipo $\mathsf{(a, -a, -2\cdot a)}$. Fazendo o caso mais simples, $\mathsf{a \ = \ -1 \ \therefore \ \vec{v} \ = \ (-1,1,2)}$.

Esse é um múltiplo do vetor diretor da reta $\mathsf{t}$.

Logo, $\boxed{\boxed{\mathsf{t : \ X \ = \ (1,2,-1) \ + \ \nu \ \cdot (-1,1,2)}}}$