Question

Determine as derivadas das funçoes abaixo.

y=1/x-1

3x4-2x³+x

Answer 1

M=a/b
M'=(a'b-b'a)/(b^2)

A derivada da primeira, pois a derivada de 1 é 0, por ser cte:
Y'=-1/((x-1)^2)

Answer 2

Regra do quociente:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{g(x)\frac{d}{dx}f(x)-f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{[g(x)]^{2}}}}$

Derivada de funções multiplicadas por constantes (vem da regra do produto/quociente):

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}(cf(x))=c\dfrac{d}{dx}f(x)=cf'(x)}}$

A derivada da soma é a soma das derivadas:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}[f(x)+g(x)+...+z(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)+\dfrac{d}{dx}g(x)+...+\dfrac{d}{dx}z(x)}}$

A derivada da diferença é análoga. Podemos mostrar utilizando a derivada de funções multiplicadas por contante e a derivada da soma

Derivada de potências onde o expoente é um número real:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\cdot x^{n-1}}}$

Derivada de constantes:

$\boxed{\boxed{\dfrac{d}{dx}c=0}}$

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A)

$y=\dfrac{1}{x-1}\\\\\\y'=\dfrac{(x-1)\frac{d}{dx}1-1\frac{d}{dx}(x-1)}{(x-1)^{2}}\\\\\\y=\dfrac{(x-1)\cdot0-1\cdot(1\cdot x^{1-1}-0)}{(x-1)^{2}}\\\\\\y=\dfrac{0-1\cdot1}{(x-1)^{2}}\\\\\\\boxed{\boxed{y'=-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}}}$

b)

$y=3x^{4}-2x^{3}+x\\\\y'=\frac{d}{dx}(3x^{4})-\frac{d}{dx}(2x)^{3}+\frac{d}{dx}x^{1}\\\\y'=3\frac{d}{dx}x^{4}-2\frac{d}{dx}x^{3}+1\cdot x^{1-1}\\\\y'=3\cdot4x^{4-1}-2\cdot3x^{3-1}+1x^{0}\\\\\boxed{\boxed{y'=12x^{3}-6x^{2}+1}}$