Question

Determine as coordenadas dos vértices de um triangulo cujos pontos médios dos lados são P(-1,4) , Q(2,-1) e R(-2,2).

Answer 1

Bom dia 

sejam A,B,C os vértices de um triangulo 
seja P(-1, 4) o ponto médio entre A e B
seja Q(2, -1) o ponto médio entre B e C
seja R(-2,2) o ponto médio entre A e C

para eixo x podemos escrever 

Ax + Bx = 2Px = -2
Bx + Cx = 2Qx = 4
Ax + Cx = 2Rx = -4 
.
resoluçao
2Ax + Bx + Cx = -2 - 4
2Ax + 4 = -6
2Ax = -10
Ax = -5 

Bx - 5 = -2
Bx = 3

Cx - 5 = -4
Cx = 1 

para eixo y podemos escrever 

Ay + By = 2Py = 8
By + Cy = 2Qy= -2
Ay + Cy = 2Ry = 4 
.
resoluçao
2Ay + By + Cy = 8 + 4
2Ay - 2 = 12
2Ay = 14
Ay = 7

By + 7 = 8
By = 1

Cy + 7 = 4
Cy = -3 

Resultado A(-5,7), B(3,1), C(1,-3) 

Answer 2

As coordenadas dos vértices do triângulo são: (3,1), (-5,7) e (1,-3).

Vamos considerar que os vértices do triângulo são A = (xa,ya), B = (xb,yb) e C = (xc,yc).

Além disso, considere que P = (-1,4) é o ponto médio de AB, Q = (2,-1) é o ponto médio de AC, R = (-2,2) é o ponto médio de BC.

Para determinarmos o ponto médio, basta somar os pontos extremos e dividir o resultado por 2.

Sendo assim, temos que:

2P = A + B

2(-1,4) = (xa,ya) + (xb,yb)

(-2,8) = (xa + xb, ya + yb)

2Q = A + C

2(2,-1) = (xa,ya) + (xc,yc)

(4,-2) = (xa + xc, ya + yc)

2R = B + C

2(-2,2) = (xb,yb) + (xc,yc)

(-4,4) = (xb + xc, yb + yc).

Assim, temos os sistemas lineares:

{xa + xb = -2

{xa + xc = 4

{xb + xc = -4

e

{ya + yb = 8

{ya + yc = -2

{yb + yc = 4.

Da equação xa + xb = -2, podemos dizer que xb = -2 - xa.

Da equação xa + xc = 4, podemos dizer que xc = 4 - xa.

Substituindo os valores de xb e xc na equação xb + xc = -4, obtemos:

-2 - xa + 4 - xa = -4

-2xa + 2 = -4

xa = 3.

Consequentemente, xb = -5 e xc = 1.

Da equação ya + yb = 8, podemos dizer que yb = 8 - ya.

Da equação ya + yc = -2, podemos dizer que yc = -2 - ya.

Substituindo os valores de yb e yc na equação yb + yc = 4, obtemos:

8 - ya - 2 - ya = 4

-2ya + 6 = 4

ya = 1.

Consequentemente, yb = 7 e yc = -3.

Portanto, os vértices do triângulo são A = (3,1), B = (-5,7) e C = (1,-3).

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