Question

determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence à bissetriz do 1° quadrante e está equidistante dos pontos A(0,1) e B(7,0)

Answer 1

Se $P=(x,y)$ o nosso ponto.

A bissetriz o 1º quadrante é a reta $y=x$.
Logo os ponto que pertencem a bissetriz do 1º quadrante também pertencem a essa reta.
Portanto as coordenadas de P serão: $P=(x,y)=(x,x)$.

Agora podemos usar distância de ponto a ponto para resolver esse problema:
$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ ou ainda:
$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$

Dessa forma teremos:
$AP^2=(x-0)^2+(x-1)^2=2x^2-2x+1$
$BP^2=(x-7)^2+(x-0)^2=2x^2-14x+49$

Como queremos $AP=BP$ teremos:
$2x^2-2x+1=2x^2-14x+49$
$12x=48$
$x=4$

Logo o ponto P será: $P=(4,4)$