Question

Determine as coordenadas do ponto P , ponto comum das retas r e s :

Answer 1

Resposta:

P = ( 40/9 ; 35/9 )

( ver gráfico em anexo )

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Sistemas de 2 equações a 2 incógnitas

Neste exercício trata-se de encontrar a solução de um sistema de duas

equações a duas incógnitas.

Observação 2 → Sistema possível e determinado

Quando esse sistema é possível e determinado, tem uma solução, então

essa solução está no ponto em que os gráficos das equações se

intersectam.

1º Determinar a expressão de cada uma das retas

Para calcular as equações de retas "r " e " s " vou usar a Equação Reduzida

da Reta.

Equação reduzida da reta

y = ax + b   onde a ; b ∈ |R

a = coeficiente angular

b = coeficiente linear

Cálculo para a reta " r "

Como precisamos de encontrar os valores de " a " e  " b " , temos duas

incógnitas.

Usemos as coordenadas de dois pontos conhecidos das retas

A ( 10 ; 5 )     e  B ( 0 ; 3 )      

Observação 3 → Sugestão

de que comece por usar as coordenadas de um ponto com coordenada em

x = 0.

Assim obtém fácil e imediatamente o valor de " b "

3 = a * 0 + b

b = 3

Pegando em y = ax + b e usando as coordenadas do outro ponto, desta

reta, calculemos o " a "

5 = a * 10 + 3

10 a = 5 - 3

a = 2/10

simplificando

a = 1/5

Reta " r " tem expressão      y = 1/5 x + 3

Cálculo para a reta " s "

( 10 ; 0 )    e    ( 0 ; 7 )

Usando as coordenadas do ponto  ( 0 ; 7 )

7 = 0 * x + b

b = 7

Usando as coordenadas do ponto ( 10 ; 0 )

0 = 10 * x + 7

10x = - 7

10x / 10 = - 7 / 10

x = - 7/10

Reta " s " tem expressão      y = - 7/10 x + 7

2º Determinar a solução do sistema com estas retas

{ y = 1/5 * x + 3

{ y = - 7/10 x + 7

Vou resolver pelo Método de Substituição

Pego no valor de y da 1ª equação e substituo na 2ª equação

$\dfrac{1}{5} x + 3 = - \dfrac{7}{10} x + 7$

Para poder "retirar" os denominadores 5 e 10 vou multiplicar todos os

termos por 10, já que 10 é o Menor Múltiplo Comum entre 5 e 10 ( ver

Observação 4 )

$\dfrac{10*1}{5}*x+3*10=-\dfrac{10*7}{10}*x+7*10$

2x + 30 = - 7x + 70

2x + 7x = 70 - 30

9x = 40

9x/9 = 40/9

x = 40/9  

Falta calcular o valor de y

Para isso vou substituir o valor obtido para x, na primeira equação

$y = \dfrac{1}{5} *\dfrac{40}{9} + 3$

$y =\dfrac{1*40}{5*9} + 3$

$y =\dfrac{40}{45} + 3$

Para somar números fracionários com números inteiros temos que

transformar o inteiro numa fração de denominador igual ao denominador

do número fracionário .

$y =\dfrac{40}{45} + \dfrac{3}{1}$

Mas primeiro, porque posso fazê-lo, vou simplificar 40/45

$y =\dfrac{40:5}{45:5} + \dfrac{3}{1}$

$y =\dfrac{8}{9} + \dfrac{3}{1}$

$y =\dfrac{8}{9} + \dfrac{3*9}{1*9}$

$y =\dfrac{8}{9} + \dfrac{27}{9}$

$y =\dfrac{8+27}{9}$

$y =\dfrac{35}{9}$        

Observação 4 → Caso particular de Cálculo de M.M.C

Se temos dois números em que um é múltiplo do outro, o maior número é o

M.M.C. entre os dois.  

Exemplo

M.M.C. ( 5 ; 10 ) = 10

Verificando

Múltiplos de 5 = { 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; ... }      tabuada do 5

Múltiplos de 10 = { 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; ... }      tabuada do 10

Cá está .

10 é o menor múltiplo comum entre 5 e 10.

Bons estudos.    

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( * ) multiplicação     ( / ) divisão       ( M.M.C. ) menor múltiplo comum

( ∈ )  pertence a