Question

determine as constantes complexas A e de B sabendo que -1 é raiz dupla da equação P(X)=2x³+3x²+ax+b=0

Answer 1

P(X) = 2x³ + 3x² + ax + b = 0
Se -1 é raiz dupla, podemos escrever a equação como um produto:

Dizer que -1 é raiz dessa equação, é dizer que essa equação é divisível por (x - raiz) = (x - (-1)) = (x + 1)

               (2x³ + 3x² + ax + b ) ÷ (x + 1) deixa resto = 0.
        
                        
Vamos fazer a divisão:

       2x³ + 3x² + ax + b                       ⊥ x + 1
   -   2x³ + 2x²                                          2x² + x + (a + b)
      ________
       /         x² + ax + b
         -       x² + x
                _________
                 /    (a + 1)x + b
                -     (a + 1)x + (a + 1)
                     ______________
                          /         a + b + 1

O resto dessa equação é zero, então:          a + b + 1 = 0
                                                                      a + b = - 1

Agora vamos usar a outra informação: Se -1 é raiz, então: P(-1) = 0

P(x) = 2x³ + 3x² + ax + b                                
P(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + a(-1) + b = 0
            -2 + 3 - a + b = 0
             1 - a + b = 0
              - a + b = - 1

Agora temos um sistema com duas equações:


 a + b = - 1
-a + b = - 1

Vamos resolver somando as duas equações:

     a + b = - 1
+  -a + b = - 1
   __________
     / + 2b = -2
 
2b = -2
b = -2/2
b = -1

Agora para encontrar o a, vamos substituir esse b em uma das equações:
a + b = -1
a - 1 = - 1
a = -1 + 1
a = 0

Então P(x) = 2x³ + 3x² + ax + b
          P(x) = 2x³ + 3x² + 0x -1
          P(x) = 2x³ + 3x² - 1

então a = 0   e  b = -1