Question

Determine a transposta da matriz inversa de A.

Answer 1

Primeiro, devemos achar a matriz inversa de A, que é dada da seguinte forma:

$\left[\begin{array}{ccc}5&-3\\2&4\end{array}\right]$ * $\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

ou seja, a matriz A multiplicada por outra matriz M de mesma ordem é igual a matriz identidade.

Resolvendo essa multiplicação de matrizes, fica: 

5a - 3c = 1
5b - 3d = 0
2a + 4c = 0
2b + 4d = 1

>>Resolvendo o sistema com as incógnitas a e c:
5a-3c=1         (x2)
2a+4c=0        (x5)

10a-6c=2
10a+20c=0   
Subtraindo as duas equações: -26c = 2, c = -1/13
e a = 2/13

>>Resolvendo o sistema com as incógnitas b e d:
5b - 3d = 0
2b + 4d = 1

b = 3/26  , d = 5/26

Agora é possível escrever a matriz M (que é a inversa de A):

M = $\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}2/13&3/26\\-1/13&5/26\end{array}\right]$

Como ele quer a transposta de M, trocamos as linhas pelas colunas e ficará:

M transposta = $\left[\begin{array}{ccc}2/13&-1/13\\3/26&5/26\end{array}\right]$