Question

Determine a transformada de Laplace inversa da função

Answer 1

Olá,

Primeiro usaremos frações parciais para reescrever essa razão. Caso não saiba o que é frações parciais, aconselho dar uma olhada.

$\frac{s+3}{s^{2}-s-2} = \frac{A}{(s-2)}+\frac{B}{(s+1)}  \\ \\ \frac{A(s+1)+B(s-2)}{(s-2).(s+1)}\\ \\ s+3= A(s+1)+B(s-2)\\ \\ As+A+Bs-2B=s+3\\ \\ s(A+B) +A-2B=s+3$

Por comparação entre os coeficientes de ''s'' e pelas constantes teremos o seguinte sistema:

$A+B=1\\ \\ A-2B=3$

Resolvendo o sistema teremos que:

A=5/3

B=-2/3

Substituindo os valores de A e B nas frações lá em cima teremos:

$\frac{s+3}{s^{2}-s-2} = \frac{5}{3(s-2)}+\frac{-2}{3(s+1)}$

Agora fica fácil aplicar a transformada inversa nessas duas frações separadamente, vejamos:

$e^{at}=\frac{1}{(s-a)} \\ \\  \frac{5}{3(s-2)}= \frac{5}{3}.\frac{1}{s-2}=\frac{5}{3}.e^{2t}\\ \\ \\ \frac{-2}{3(s+1)} =  \frac{-2}{3}.\frac{1}{s+1}= \frac{-2}{3}.e^{-t}\\ \\ RESPOSTA: \frac{5}{3}.e^{2t}  -\frac{2}{3}.e^{-t}$

Espero ter ajudado.

Answer 2

Transformada da exponencial

$\boxed{\mathcal{{L}}^{-1}{e}^{at}=\frac{1}{s-a}}$

$\frac{s+3}{{s}^{2}-s-2}=\frac{s+3}{(s-2)(s+1)}$

$\frac{s+3}{(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}$

$s+3=A{s-2}+B(s+1) \\ As-2A+Bs+B=s+3\\(A+B)s-2A+B=s+3$

$\begin{cases}A+B=1\\-2A+B=3\end{cases}$

Multiplicando a 1ª equação por 2 temos

$\begin{cases}2A+2B=2\\-2A+B=3\end{cases}$

Somando as equações temos

$\cancel{2A}+2B-\cancel{2A}+B=2+3\\3B=5$

$\boxed{\boxed{B=\frac{5}{3}}}$

$A+\frac{5}{3}=1\\A=1-\frac{5}{3}$

$\boxed{\boxed{A=-\frac{2}{3}}}$

$\mathcal{{L}}^{-1}\frac{s+3}{{s}^{2}-s-2}=\frac{5}{3}\mathcal{{L}}^{-1}\frac{1}{s-2}-\frac{2}{3}\mathcal{{L}}^{-1}\frac{1}{s+1}$

$\frac{5}{3}{e}^{2t} -\frac{2}{3}{e}^{-t}$

$\boxed{\boxed{\mathcal{{L} ^{-1}}\frac{s+3}{{s}^{2}-s-2}=\frac{5}{3}{e}^{2t} -\frac{2}{3}{e}^{-t}}}$