Question

Determine a taxa de variação máxima da função f(x,y,z) = ln(xy^4z^2) no ponto (2,-1,1).

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo multivariável.

Devemos determinar a taxa de variação máxima da função $f(x,~y,~z)=\ln(xy^4z^2)$ no ponto $(2,\,-1,~1)$.

Primeiro, aplique as propriedades de logaritmo: $\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)$ e $\ln(a^n)=n\cdot \ln(a),~a,~b>0$.

$f(x,~y,~z)=\ln(x)+\ln(y^4)+\ln(z^2)\\\\\\ f(x,~y,~z)=\ln(x)+4\ln(y)+2\ln(z)$

Então, calcule o vetor gradiente da função. Lembre-se que o vetor gradiente de uma função é aquele cujas componentes são as derivadas parciais da função em respeito às suas variáveis: $\overrightarrow{\nabla}f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y},~\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$.

Calculamos as derivadas parciais da função:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\ln(x)+4\ln(y)+2\ln(z))$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função em respeito a uma de suas variáveis é calculada considerando o restante das variáveis como constantes.
• Com isso, a derivada parcial de uma função $\dfrac{\partial}{\partial x}(g(y))=0$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot f(x))=c\cdot \dfrac{\partial f}{\partial x}$.
• A derivada da função logaritmíca é calculada por: $\dfrac{\partial}{\partial x}(\ln(x))=\dfrac{1}{x}$.

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\ln(x))+\dfrac{\partial}{\partial x}(4\ln(y))+\dfrac{\partial}{\partial x}(2\ln(z))$

Calcule a derivada da função logarítmica

$\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{x}}$

Faça o mesmo com o restante das derivadas parciais:

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(\ln(x)+4\ln(y)+2\ln(z))\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=4\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(\ln(y))\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{4}{y}}\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(\ln(x)+4\ln(y)+2\ln(z))\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=2\cdot \dfrac{\partial}{\partial z}(\ln(z))\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2}{z}}$

Logo, o vetor gradiente desta função é $\overrightarrow{\nabla}f=\left(\dfrac{1}{x},~\dfrac{4}{y},~\dfrac{2}{z}\right)$.

Agora, calculamos o vetor gradiente no ponto $(2,\,-1,~1)$:

$\overrightarrow{\nabla}f(2\,-1,~1)=\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{4}{-1},~\dfrac{2}{1}\right)\\\\\\\overrightarrow{\nabla}f(2\,-1,~1)=\left(\dfrac{1}{2},\,-4,~2\right)$

Por fim, lembre-se que a taxa de variação máxima de uma função de várias variáveis na direção de um ponto de seu domínio é calculada como o módulo do vetor gradiente neste ponto.

O módulo de um vetor $\overrightarrow{v}=(a,~b,~c)$ é calculado como a raiz da soma dos quadrados de seus componentes: $||\overrightarrow{v}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Assim, teremos:

$\max\{D_f\}=||\overrightarrow{\nabla}f(2,\,-1,~1)||\\\\\\ \max\{D_f\}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+(-4)^2+2^2}$

Calcule as potências e some os valores

$\max\{D_f\}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+16+4}\\\\\\ \max\{D_f\}=\sqrt{\dfrac{81}{4}}\\\\\\ \max\{D_f\}=\dfrac{9}{2}=4.5~~\checkmark$