Question

Determine a taxa de variação de cada uma das funções
A) f(x)= -3x+1
B) f(x)=-x² no ponto x=1
C) f(x)=2x²-1 no ponto x=0
D) f(x)=x³ no ponto x=2

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Seja y = f(x) uma função real e p ∈ Df . Dizemos que a função f é derivável em x = p se  existir a taxa de variação instantânea de f em x = p e caso ocorra, escrevemos

$f'(p)=\frac{df}{dx}(p)= \lim_{\Delta{x} \to 0}\frac{\Delta{f}}{\Delta{x}}= \lim_{\Delta{x} \to 0}\frac{f(p+\Delta{x})-f(p)}{\Delta{x}}$

Resumo

Resumindo, se T é a taxa de variação de uma função f no intervalo [a,b] vale dizer que:

T>0 : a função aumenta de valor. E quanto maior T, mais expressivo é este aumento.

T<0 : a função diminui de valor. E quanto menor T, mais expressivo é o descréscimo.

T=0 : a função tem o mesmo valor no ínicio e no final do intervalo, i. e., a variação final é nula.

Calculemos a derivada de f'(x)

A)

A) f(x)= -3x+1

f'(x)m= -3

B) f(x)=-x² no ponto x=1

$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ \lim_{x \to 1} \frac{-x^2-(-1)}{x-1}\\\lim_{x \to 1} \frac{-x^2+1}{x-1}\\\\lim_{x \to 1} \frac{-[(x+1)(x-1)]}{(x-1)}\\\lim_{x \to 1} (x+1)= -2$

C) f(x)=2x²-1 no ponto x=0

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(1)}{x-0}\\\lim_{x \to 0} \frac{2x^2-1-(2*0^2-1)}{x}\\\lim_{x \to 0} \frac{2x^2-1-(-1)}{x}\\\lim_{x \to 0} \frac{2x^2-1+1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x}=\lim_{x \to 0} 2x=2*0=0$

D) f(x)=x³ no ponto x=2

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}\\\mathrm{Simplificar}\:\frac{x^3-8}{x-2}:\quad x^2+2x+4\\eliminamos(x-2):\,\,\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}{x-2}\\\lim_{x \to 2}x^2+2x+4=2^2+2*2+4=4+4+4=12$