Question

Determine a taxa de juros compostos semestral paga por uma aplicação de R$ 230,00 mensais, que após 2,5 anos resultou em R$ 8.660,51. (Inicie seus cálculos com a taxa de 1,58% a.m.)
Escolha uma:
a. 9,74% ao semestre
b. 4,97% ao semestre
c. 7,94% ao semestre
d. 9,47% ao semestre
e. 7,49% ao semestre

Answer 1

Vamos lá.

Bem, aqui já está mais difícil, pois é pedido para iniciar-se com uma taxa mensal de "1,58% a.m.", enquanto as opções dão as taxas ao semestre.
Então, para que possamos ter pelo menos um "norte" na possível resposta, vamos iniciar com a taxa recomendada, que é 1,58% ao mês.
Vamos aplicar na fórmula:

VF = VM*[(1+i)ⁿ - 1]/i ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
8.660,51 = 230*[(1+0,0158)³⁰ - 1]/0,0158 ---- (note que 2,5 anos = 2 anos e meio = 30 meses. Por isso é que colocamos expoente "30").

8.660,51 = 230*[(1,0158)³⁰ - 1]/0,0158
8.660,51 = 230*[1,60 - 1]/0,0158
8.660,51 = 230*[0,60]/0,0158 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
8.660,51*0,0158 = 230*0,60
136,84 = 138,00 ---- veja que: como o 2º membro deu um pouquinho maior, então deveremos reduzir a taxa de "1,58%" para, por exemplo: "1,55%" e vamos ver o que dá:

8.660,51 = 230*[(1+0,0155)³⁰ - 1]/0,0155
8.660,51 = 230*[(1,0155)³⁰ - 1]/0,0155
8.660,51 = 230*[1,586346 - 1]/0,0155
8.660,51 = 230*[0,586346]/0,0155 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
8.660,51*0,0155 = 230*0,586346
134,24 = 134,86 ----- veja que, embora haja arredondamentos, não poderemos admitir que a diferença em centavos acima seja por causa dos arredondamentos. Por isso, vamos baixar mais um pouco a taxa, digamos para "1,52%" ao mês, com o que ficaríamos assim:

8.660,51 = 230*[(1+0,0152)³⁰ - 1]/0,0152
8.660,51 = 230*[(1,0152)³⁰ - 1]/0,0152
8.660,51 = 230*[1,5723466 - 1]/0,0152
8.660,51 = 230*[0,5723466]/0,0152 ---- multiplicando-se em cruz, temos:
8.660,51*0,0152 = 230*0,5723466
131,64 = 131,64 ----- veja que os dois membros ficaram iguais.
Logo, a taxa mensal será de 1,52% ao mês (ou 0,0152 ao mês).

Bem, agora vamos utilizar a taxa acima "0,0152 ao mês" para encontrar a taxa efetiva ao semestre. Para isso, basta que utilizemos a seguinte fórmula para encontrarmos taxas efetivas equivalentes:

1 + I = (1+i)ⁿ

Na fórmula acima "I" é a taxa relativa ao maior período, enquanto "i" é a do menor período, e, finalmente, "n" é o tempo da equivalência que queremos. Assim:

1 + I = (1+0,0152)⁶
1 + I = (1,0152)⁶ ---- veja que (1,0152)⁶ = 1,0947 (bem aproximado). Logo:
1 + I = 1,0947
I = 1,0947 - 1
I = 0,0947 ou 9,47% ao semestre. <--- Esta é a resposta. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.