Question

Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.A. (-13, -15, -17, ...):​

Answer 1

Um jeito rápido de ver o quanto é a razão de uma PA é ver o quanto muda de um termo para o próximo. Nesse caso, por exemplo, de -13 pra -15 a diferença foi -2.

(Se você quiser escrever a conta é

A n + 1 = A n + R

R = A n + 1 - A n = -15 - - 13 = -15 + 13 = -2)

Então pra saber os primeiros 20 termos é só ir subtraindo 2, e vai ficar:

-13, -15, -17, -19, -21, -23, -25, ..., que é a mesma coisa que

-13 • 20 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -22 -24 -26 -28 -30 -32 -34 -36 -38 -40 =

-13 • 20 - 2 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20) =

-260 - 2 (210) = -260 - 420 = -680

É claro que essa foi só uma forma possível de somar todos os termos, que eu tentei deixar mais simples de resolver, você podia só somar -13, -15, -17... e assim diante.

Answer 2

Resposta: - 640

Explicação passo-a-passo:

Demonstração da Fórmula da Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética (P.A.)

Seja a Progressão Aritmética (a(1), a(2), a(3),...,a(n)) e suporemos que eu deseje calcular a soma “S(n)” de seus “n” termos, ou seja:

S(n) = a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n)

Primeiramente, devemos utilizar a fórmula do Termo Geral da P.A. Assim sendo, escreveremos qualquer termo, distinto do primeiro, em função do primeiro. Com isso temos:

S(n) = a(1) + [a(1) + r] + [a(1) + 2r]

+ [a(1) + 3r] + ... + [a(1) + (n - 1)r] =>

n a(1)’s

S(n) = a(1) + a(1) + ... + a(1) + [r + 2r + 3r + 4r + ... + (n - 1)r] =>

S(n) = na(1) + r[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1)] =>

S(n) = na(1) + r[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1) + n - n] * (i)

* É sabido que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n - n = n(n + 1)/2 - n = n(n + 1)/2 - 2n/2 = [n(n + 1) - 2n]/2 = n[(n + 1) - 2]/2 = n(n - 1)/2

Continuando...

S(n) = na(1) + rn(n - 1)/2 =>

S(n) = 2na(1)/2 + rn(n - 1)/2 =>

S(n) = [2na(1) + rn(n - 1)]/2 =>

S(n) = n[2a(1) + (n - 1)r]/2 =>

S(n) = n[a(1) + a(1) + (n - 1)r]/2 e a(n) = a(1) + (n - 1)r =>

S(n) = n[a(1) + a(n)]/2 =>

S(n) = n/2[a(1) + a(n)] = [a(1) + a(n)]/2

c.q.d

Agora, vamos resolver o exercício:

Sabemos que a(1) = - 13 e r = - 15 - (- 13) = - 15 + 13 = - 2, logo o valor do vigésimo termo é dado por:

a(20) = a(1) + (20 - 1)r =>

a(20) = - 13 + 19(- 2) =>

a(20) = - 13 - 38 =>

a(20) = - 51

Com isso a soma dos 20 (vinte) primeiros termos será:

S(20) = 20/2[a(1) + a(20)] =>

S(20) = 10[- 13 + ( - 51)] =>

S(20) = 10(- 13 - 51) =>

S(20) = 10(- 64) =>

S(20) = - 640

Abraços!