Question

determine a soma dos termos de uma PG (1/9, 1/3, 3, ..., 729)

Answer 1

A soma dos termos de uma $\text{PG}$ é dada por $S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^{n}-1)}{q-1}$
 
Já temos $a_1=\dfrac{1}{9}$. Precisamos determinar $q$ e $n$:

Para achar $q$, a razão dessa $\text{PG}$, basta dividir o segundo termo pelo primeiro:

$q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{1}=3$

Para encontrar $n$, vamos utilizar a fórmula do termo geral $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$729=\dfrac{1}{9}\cdot3^{n-1} \iff 3^6=3^{-2}\cdot3^{n-1}$

$3^{n-1}=\dfrac{3^6}{3^{-2}} \iff 3^{n-1}=3^{6-(-2)}$

$3^{n-1}=3^{6+2} \iff 3^{n-1}=3^8 \iff n-1=8$

$n=8+1 \iff n=9$

Agora podemos calcular a soma dos termos:

$S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^{n}-1)}{q-1}$

$S_9=\dfrac{\frac{1}{9}\cdot(3^{9}-1)}{3-1}=\dfrac{\frac{1}{9}\cdot(19683-1)}{2}=\dfrac{\frac{1}{9}\cdot19682}{2}$

$S_9=\dfrac{\frac{19682}{9}}{2}=\dfrac{19682}{9}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{19682}{18}$

$S_9=\dfrac{9841}{9}$