Question

determine a soma dos 100 primeiros termos da progressão geométrica (a1, a2, a3, ...), sabendo que log10 an = - 1, n € N?

Answer 1

Olá.

O enunciado está incorreto na parte do logaritmo. Por meio de pesquisas encontrei essa mesma questão, que pertenceu a UFF (Universidade Federal Fluminense).

 

O correto do logaritmo é: $\mathsf{log_{10}~(a_n)=n-1}$

 

Para resolver essa questão, devemos usar uma propriedade de logaritmo, que apresento abaixo:

 

$\mathsf{log_a~(b)=x~|~b=a^x}$

 

Além disso, tem outras propriedades que vamos usar no decorrer do desenvolvimento. São elas:

 

- Potência com expoente negativo. Quando tem um expoente negativo, inverte-se a base em forma de fração.

 

$\mathsf{a^{-1}=\dfrac{1}{a}}$

 

- Razão de uma P.G (q). A razão de uma P.G (período de repetição) é dado pelo quociente de um termo com seu antecessor.

 

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}$

 

- Soma de termos da P.G finita. A soma de termos de uma P.G finita é dada por uma fórmula.

 

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}$

 

Substituindo valores, primeiro no logaritmo, teremos:

 

$\mathsf{log_a~(b)=x~|~b=a^x}\\\\\mathsf{log_{10}~(a_n)=n-1~|~a_n=10^{n-1}}\\\\\mathsf{a_n=10^{n-1}}\\\\\mathsf{a_n=10^{n}\cdot10^{-1}}\\\\\mathsf{a_n=10^{n}\cdot\dfrac{1}{10}}\\\\\mathsf{a_n=\dfrac{10^n}{10}}$

 

Os dois primeiros termos dessa PG são:

 

$\mathsf{a_n=\dfrac{10^n}{10}}\\\\\\\\\mathsf{a_1=\dfrac{10^1}{10}}\\\\\\\mathsf{a_1=\dfrac{10}{10}}\\\\\mathsf{a_1=1}\\\\\\\\\mathsf{a_2=\dfrac{10^2}{10}}\\\\\\\mathsf{a_2=\dfrac{100}{10}}\\\\\mathsf{a_2=10}$

 

Descobrindo a razão, teremos:

 

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}\\\\\\\mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_{1}}}\\\\\\\mathsf{q=\dfrac{10}{1}}\\\\\\\boxed{\mathsf{q=10}}$

 

Substituindo valores na fórmula da soma dos termos, teremos:

 

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}\\\\\\\mathsf{S_{100}=\dfrac{1\cdot(10^{100}-1)}{10-1}}\\\\\\\boxed{\mathsf{S_{100}=\dfrac{10^{100}-1}{9}}}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$