Question

Determine a soma de todos os múltiplos de 7 compreendidos entre 1000 e 2000

Answer 1

Uma clássica questão de PA que a gente precisa trabalhar em algumas etapas. Dá uma olhada:

Primeiro, devemos achar o primeiro múltiplo (que será considerado o A1 da PA) e o ultimo (que será considerado o An).

Segundo, sabendo que a razão "r" vale 7 e conhecendo A1 e An, devemos achar a quantidade "n" de termos que essa sequencia de números possui. Para isso, utilizamos a "Fórmula do Termo Geral" 
An = A1 + (n-1)xr

Terceiro, sabendo o primeiro múltiplo (A1), o último (An) e a quantidade de termos (n), devemos calcular a "Soma dos Termos" (Sn) dessa PA.
Sn = $\frac{(A1 + An)n}{2}$

Vamos pôr a mão na massa! 

1º Passo:

- Primeiro múltiplo de 7 entre 1000 e 2000: A forma mais rápida NESTE caso é dividindo os números por 7 para descobrir qual tem resto 0.
1000/7 = 142,86
1001/7 = 143
-------> O primeiro múltiplo é 1001.

-Último múltiplo: Divide-se 2000 por 7 para descobrir o resto (Não dividir até os decimais)
2000/7 = 285 com resto 5

Agora, subtrair de 2000 a quantidade relativa ao resto: 2000 - 5 = 1995
Pronto! O último múltiplo de 7 entre 1000 e 2000 é 1995! 
Confira dividindo 1995 por 7 e vendo que o resto é 0.

-----------> Ultimo múltiplo é 1995.


2º Passo:                                      1995 = 1001 + (n-1)x7
An = 1995                                     1995 = 1001 + 7n - 7
A1 = 1001                                     1995 = 7n + 994
r = 7                                               7n = 1995 - 994
n = ?                                              7n = 1001 ==> n = 1001/7 ==> n = 143

-----> Existem 143 múltiplos de 7 entre 1000 e 2000 (A PA tem 143 termos).

3º Passo:
 Sn = $\frac{(1001 + 1995)143}{2}$
Sn = $\frac{(2996)143}{2}$
Sn = 1498 x 143
Sn = 214214

Ou seja, o valor da soma dos 143 múltiplos de 7 compreendidos entre 1000 e 2000 é 214214.

Espero ter ajudado!