Question

Determine a solução para os problemas de valor inicial:

a) $\frac{dy}{dx} =\frac{x}{y} \ y(0)=-3$

b) $\frac{dP}{dt} =\sqrt{Pt} \ P(1)=4$

Answer 1

a)

A solução é $y=-\sqrt{x^2+9}$

b)

A solução é $P=\dfrac{(t+15)^2}{4}$

a)

$\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{x}{y} \\ y(0)=-3$

Vemos que está equação é separavel e podemos então fazer:

$\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{x}{y} \\ y\dfrac{dy}{dx} =x$

Agora podemos integrar os dois lados da igualdade em relação a x ficando com a seguinte equação

$\int y dy=\int x dx$

Isto resulta em

$y^2=x^2+C\\y^2-x^2=C$

Esta equação dá o gráfico de uma hipérbole. Somos livres para escolher se queremos trabalhar com y positivo ou y negativo.

Temos então que $y=\pm\sqrt{x^2+C}$

Como foram dadas as condições iniciais da função, vamos substituir para $y(0)$ é obter a solução da equação.

$y(0)=-3 \implies \pm\sqrt{0-C}=-3$

Logo $C=9$ e $y=-\sqrt{x^2+9}$

b)

$\dfrac{dP}{dt} =\sqrt{P(t) } \\ P(1)=4$

Esta equação também é separavel e podemos então fazer:

$\dfrac{dP}{dt} =\sqrt{P(t) } \\\dfrac{1}{\sqrt{P(t)}}\dfrac{dP}{dt} =1$

Integrando em relação a $t$ teremos a seguinte equação:

$\int \dfrac{dP} {\sqrt{P}} =\int 1dt\\\\2\sqrt(P)=t+C\\\\P=\dfrac{(t+C)^2}{4}$

A condição inicial nos diz que $P(1)=4$ Temos então que $4=\dfrac{(1+C)^2}{4}$

Logo, $1+C=16$ é portanto $C=15$

A solução é $P=\dfrac{(t+15)^2}{4}$