Question

Determine a solução, em R, da inequação 3x-4 | x-3 igualado a 0​

Answer 1

Resposta: LETRA C

Explicação passo a passo:

A primeira coisa é identificar suas restrições de domínio. Basicamente ela acontece quando temos frações, pois o denominador não pode ser zero, e com raízes de índice par, onde o radicando tem que ser maior ou igual a zero. Se houver raízes no denominador, a restrição é ainda maior, o radicando deve ser maior que zero.

Neste caso, temos uma função no denominador. Logo, a primeira coisa que devemos saber é que a $x-3\neq 0$. Logo, $x\neq 3$.

Em segundo lugar, definidas as restrições, a gente vai fazer o estudo do sinal de cada função. Vamos começar com 3x-4. É uma equação do tipo ax+b, logo, representa uma reta. Se o coeficiente angular da reta (o número que acompanha x) for > 0, a reta é crescente. Se < 0, a reta é decrescente. Olhando para 3x-4, o coeficiente angular é 3, logo, é uma reta crescente. Assim, sabendo disso, a gente iguala a zero e descobre qual ou quais as raízes da equação.

$3x-4=0\\3x=4\\x=4/3$

Logo, como 4/3 é o valor que zera a função e ela é crescente, significa que a função é maior que zero para valores de x > 4/3, igual a zero para o valor de x = 4/3 e menor que zero para o valor de x < 4/3.

Agora, vamos para a 2a parte, analisar a função de baixo. Mesmo raciocínio. x-3 é uma função cujo coeficiente angular é 1 (x-3 é a mesma coisa que 1.x - 3), logo, é uma função crescente. Se igualarmos a zero, descobrimos que $x=3$ é a raiz. Assim, a função é maior que zero para valores de x > 3, igual a 0 para x = 3 e < 0 para x < 3.

Pronto, as funções estão estudadas isoladamente. Mas para responder a questão, precisamos estudar o sinal do quociente destas funções. Para isso, a gente ordena os valores das raízes (4/3 é menor que 3, logo, vem antes) e aplica os sinais que encontramos. Como é uma divisão, fazemos o jogo de sinais e definimos onde a função é $\leq 0$ (lembrando que a bolinha é fechada em 4/3 (numerador pode ser igual a zero) mas aberta em 3 (denominador não pode ser igual a zero, conforme nossa restrição inicial.

Conforme vemos na figura, após o jogo de sinais, ficamos com valores $\leq 0$ para todo x entre 4/3 e 3, incluindo 4/3 e excluindo 3. Em notação de intervalos, seria $x \in R\ |\ [4/3, 3) \ ou\ 4/3 \leq x < 3$, o que nos dá a letra C.