Question

Determine a solução das equações: com resolução pfv

Y” - y’- 2y= 0

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais.

Devemos encontrar as soluções da seguinte equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem: $y''-y'-2y=0$.

Suponha que as soluções desta equação serão funções $y=y(x)$ da forma: $y=e^{\lambda x}$, em que $\lambda$ é uma constante arbitrária.

Calculando as derivadas de primeira e segunda ordem desta função, teremos:

$y'=(e^{\lambda x})'\\\\\\ \Rightarrow y'=\lambda\cdot e^{\lambda x}\\\\\\ y''=(y')'=(\lambda e^{\lambda x})'\\\\\\ \Rightarrow y''=\lambda^2\cdot e^{\lambda x}$

Substituindo estes elementos na equação, temos:

$\lambda^2 e^{\lambda x}-\lambda e^{\lambda x}-2e^{\lambda x}=0$

Fatore a equação pondo $e^{\lambda x$ em evidência

$e^{\lambda x}\cdot(\lambda^2-\lambda-2)=0$

Para que um produto de dois ou mais fatores seja igual a zero, ao menos um deles deve ser igual a zero. Porém, a função exponencial $e^{\lambda x}>0$, visto que a base é positiva.

Dessa forma, têm-se que: $\lambda^2-\lambda-2=0$. Esta é a chamada equação característa desta equação diferencial ordinária.

Utilizando a fórmula resolutiva para a solução de equações quadráticas: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},~a\neq0$, teremos:

$\lambda=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}\\\\\\ \lambda=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\\\\\ \lambda=\dfrac{1\pm\sqrt{9}}{2}\\\\\\ \lambda=\dfrac{1\pm3}{2}$

Separando as soluções, somando os valores e simplificando as frações, temos:

$\lambda=\dfrac{1-3}{2}~~\bold{ou}~~\lambda =\dfrac{1+3}{2}\\\\\\ \Rightarrow \lambda=\dfrac{-2}{2}=-2~~\bold{ou}~~\lambda=\dfrac{4}{2}=2$

A solução geral da equação diferencial, neste caso, em que as soluções da equação característica são as constantes $\lambda_1,~\lambda_2\in\mathbb{R}$, é dada por: $y(x)=c_1\cdot e^{\lambda_1 x}+c_2\cdot e^{\lambda_2 x}$.

Substituindo os resultados encontrados anteriormente, temos:

$y(x)=c_1\cdot e^{-x}+c_2\cdot e^{2x},~c_1,~c_2\in\mathbb{R}~~\checkmark$

Esta é a solução geral desta equação diferencial.