Question

Determine “a” real e positivo, tal que o número complexo 2-ai/1+2ai seja imaginário puro.

Answer 1

$\frac{2 - ai}{1 + 2ai} = \frac{(2 - ai)(1 - 2ai)}{(1 + 2ai)(1 - 2ai)} \\ = \frac{2 - 4ai - ai + 2 {a}^{2} {i}^{2} }{ {1}^{2} - {(2ai)}^{2} }$

$\frac{2 - 5ai + 2 {a}^{2}.( - 1 )}{1 - 4 {a}^{2} {i}^{2}} \\ = \frac{2 - 5ai - 2 {a}^{2} }{1 - 4 {a}^{2}.( - 1)}$

$\frac{ - 2 {a}^{2} + 2 - 5ai }{4 {a}^{2} + 1} = \frac{ - 2 {a}^{2} + 2 }{4 {a}^{2} + 1} - \frac{5a}{4 {a}^{2} + 1 }i$

Para ser imaginário puro a parte real deve ser 0 daí :

$\frac{ - 2 {a}^{2} + 2 }{ 4{a}^{2} + 1} = 0 \\ - 2 {a}^{2} + 2 = 0 \\ 2 {a}^{2} = 2 \\ {a}^{2} = \frac{2}{2}$

${a}^{2} = 1 \\ a = ± \sqrt{1} \\ a = ±1$