Matemática, perguntado por alanizaxel4780, 11 meses atrás

determine a raiz de 3 aou quadrado -4x-2=-3 utilizando a formula de completar quadrados

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver a equação do segundo grau - equação quadrática - pelo método "Completar Quadrado", concluímos que seu conjunto solução é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \left\{\frac{1}{3},\,1\right\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação do segundo grau:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x^{2} - 4x - 2 = -3\end{gathered}$}$

Organizando a equação temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x^{2} - 4x - 2 + 3 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x^{2} - 4x + 1 = 0\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 3\\b = -4\\c = 1\end{cases}$

Para resolver esta equação pelo método completar quadrado, podemos converter a forma geral da equação dada em sua forma canônica. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a\cdot\left[\bigg(x + \frac{b}{2a}\bigg)^{2} - \bigg(\frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}\bigg) \right] = 0\end{gathered}$}$

Substituindo os coeficientes na equação "I", resolvendo e simplificando os cálculos, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\cdot\left[\bigg(x + \frac{(-4)}{2\cdot3}\bigg)^{2} - \bigg(\frac{(-4)^{2} - 4\cdot3\cdot1}{4\cdot3^{2}}\bigg) \right] = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\cdot\left[\bigg(x + \frac{(-4)}{6}\bigg)^{2} - \bigg(\frac{16 - 12}{36}\bigg) \right] = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\cdot\left[\bigg(x - \frac{4}{6}\bigg)^{2} - \bigg(\frac{4}{36}\bigg) \right] = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\cdot\left[\bigg(x - \frac{2}{3}\bigg)^{2} - \frac{1}{9} \right] = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg(x - \frac{2}{3}\bigg)^{2} - \frac{1}{9} = 0\end{gathered}$}$

Chegando nesta etapa, temos a forma canônica da equação do segundo grau. Como estamos querendo resolve-la, devemos continuar com os cálculos até obter suas raízes. Então temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg(x - \frac{2}{3}\bigg)^{2} = \frac{1}{9} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x - \frac{2}{3} = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x - \frac{2}{3} = \pm\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x - \frac{2}{3} = \pm\frac{1}{3}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \pm\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\end{gathered}$}$

Obtendo as raízes, temos:

$\LARGE\begin{cases} x' = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-1 + 2}{3} = \frac{1}{3}\\x'' = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1\end{cases}$