Determine a quantidade de zíperes que devem ser produzidos e vendidos mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo. Dica: utilize o teste da segunda derivada.
Soluções para a tarefa
Resposta:
mapa completo calculo diferencial e integral I
Explicação passo a passo:
MAPA Cálculo Diferencial e Integral I
Etapa 1
1.a. Encontre a função custo (C(x)).
Resposta: cf = 500 cv = 35 . x R(x)=80.x
C(x)=500+35.x
1.b. Encontre a função receita (R(x)).
Resposta: R(x) = 80 . x
1.c. Encontre a função lucro (L(x)).
Resposta:
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 80x – (500 + 35x)
L(x) = 80x – 500 - 35x
L(x) = 80x – 35x – 500
L(x) = 45x – 500
1.d. Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e determine o lucro para a venda de 100 peças de calças jeans.
Resposta
L(100) = 45 . 100 – 500
L(100) = 4500 – 500
L(100) = 4000
Etapa 2
2.a. Encontre a função lucro.
Resposta
Receita r(x)
R(x)=10.000x x≥0
Custo C(x)=1000x³ + 1000x² + 2000x – 1000
Lucro L(x)
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 10.000x – (1000x³ + 1000x² + 2000x – 1000)
L(x)= 10.000x - 1000x³ - 1000x² - 2000x + 1000
L(x)= - 1000x³ - 1000x² + 8000x + 1000
2.b. Determine a quantidade de zíperes que devem ser produzidos e vendidos mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo. Dica: utilize o teste da segunda derivada.
Resposta
Quantidade de zíperes = 1,33 milhares
F (x) = 0
F (x) = -3000x2 – 2000x + 8000
-3000x2 – 2000x + 8000 = 0
-3x2 – 2x + 8 = 0
∆ = 4-4. (-3). 8
∆ = 100
±x=(2±√100)/(2.(-3)) x=(2±10)/(2-6) X1 = 12/-6 = -2
X2 = -8/-6 = 4/3
APLICANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA:
F (x) = -6000x - 2000
F (-2) = -6000 (-2) – 2000 = 1000 > o ponto de equilibrio
F (4/3) = -6000 (4/3) – 2000 = -10000 < o ponto de máximo.
Para obter o lucro maximo, é preciso produzir 4/3 milhares de zíperes ou 1.333 zíperes.
I (x) = -1000x3 – 1000x2 + 8000x + 1000
2.c. Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o ponto máximo.
Resposta
Etapa 3
3.a. Qual a economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 4 primeiros anos?
Resposta
⁴ ⁴ ⁴ ⁴
ꭍ (1000x +250) dx = ꭍ ⇒ ꭍ (1000x +250) dx = [500x² +250] ꭍ ⇒
₀ ₀ ₀ ₀
⁴ ⁴ ⁴ ⁴ ⁴
ꭍ (1000x +250) dx = [500x² +250x] ꭍ ⇒ ꭍ (1000x +250) dx = [250x (2x+1)] ꭍ ⇒
₀ ₀ ₀ ₀ ₀
⁴ ⁴
ꭍ (1000x +250) dx = 250 x 4 (2 x 4 +1) ⇒ ꭍ (1000x +250) dx = 1000 (8+1) ⇒
₀ ₀
⁴
ꭍ (1000x + 250) dx=9000
₀
3.b. Após quantos anos o equipamento estará pago, se o mesmo custa R$ 35.000,00?
Resposta
ˠ ˠ
ꭍ (1000x+250) dx= 250x (2x + 1) ⇒ ꭍ (1000x+250) dx= 35000 ⇒ logo: 250x (2x+1) = 35000
₀ ₀
X (2x+1) - 3500 ⇒ (2x +1) = 140
250
2x² + x -140=0 ⇒ ∆ = 1² x 4 x 2 (-140) ⇒ ∆ = 1+ 1120 ⇒ ∆ = 1121
X= - 1 ± √1121 ⇒ X= - 1 ± √1121 ⇒ x = 8,12 anos
2.2 4