Question

Determine a proporção que diminuirá a energia cinética de um nêutron (massa m1) que se choca central e elasticamente com um núcleo atômico (massa m2), inicialmente em repouso.

Answer 1

Explicação:

Se a colisão é elástica então a energia cinetica será conservada. Dessa forma temos que:

m1Vo²/2 = m1V1²/2 + m2V2²/2

A proporção que diminuirá será dada por Ef/Ei, vamos chamar essa grandeza de k. Se dividirmos a equação acima nós dois lados pela energia cinetica inicial teremos:

1 = k + (m2V2²)/(m1Vo²)

k = 1 - (m2V2²)/(m1Vo²)

Pra facilitar vamos chamar m1/m2 de μ:

k = 1 - V2²/(μVo²)

Pela consideração do momento:

m1Vo = m2V2 + m1V1

V2 = (m1Vo - m1V1)/m2

V2 = μ(Vo - V1)

k = V1²/Vo²

V1² = kVo²

V1 = Vo√k

V2 = μ(Vo - Vo√k)

V2 = μVo(1 - √k)

k = 1 - V2²/(μVo²)

k = 1 - μ²Vo²(1 - √k)²/(μVo²)

k = 1 - μ(1 - √k)²

k = 1 - μ - μk + 2μ√k)

(1 + μ)k - 2μ√k + μ - 1 = 0

√k = K

k = K²

(1 + μ)K² - 2μK + μ - 1 = 0

Aplicando bhaskar:

K = (2μ ± √(4μ² - 4(μ + 1)(μ - 1)))/2(1 + μ)

K = (μ ± √(μ² - μ² + 1))/(1 + μ)

K = (μ ± 1)/(μ + 1)

K' = (μ + 1)/(μ + 1) = 1

K'' = (μ - 1)/(μ + 1)

K = √k

K² = ± k

k = ± K²

k' = + K'² = 1² = 1

k'' = - K'² = -1² = - 1

k''' = K''² = ((μ - 1)/(μ + 1))²

k'''' = -K''² = -((μ - 1)/(μ + 1))²

Sabemos que k = Ef/Eo logo ele n pode ser negativo nem igual a 1 logo k:

k = ((μ - 1)/(μ + 1))²

Answer 2

A proporção entre a energia cinética inicial do nêutron e a energia cinética após a colisão é dada pela razão [(m₁ - m₂)/(m₁ + m₂)]².

A quantidade de movimento, em módulo, de um corpo pode ser calculada pela fórmula matemática:

$Q = m*v$

O conceito da conservação da quantidade de movimento implica em:

$Q_{antes} = Q_{depois}$

O enunciado nos forneceu os seguintes dados:

• Massa do nêutron = m1;
• Velocidade inicial do nêutron = V0;
• Velocidade após a colisão do nêutron = V1;
• Massa do núcleo atômico = m2;
• Velocidade inicial do núcleo atômico = 0;
• Velocidade final do núcleo atômico = V2.

Aplicando a conservação da quantidade de movimento, considerando uma colisão elástica:

$Q_{antes} = Q_{depois}\\Q_{antes_{neutron}} + Q_{antes_{nucleo}} = Q_{depois_{neutron}} + Q_{depois_{nucleo}}\\\\m_1*v_0 + m_2*0 = m_1*v_1 + m_2*v_2\\\\m_2v_2 = m_1v_0 - m_1v_1 = m_1(v_0 - v_1)\\\\v_2 = m_1(v_0 - v_1)/m_2$

Por ser uma colisão elástica, nas condições ideais, a energia cinética do sistema também se conservará. Ou seja:

$E_{c_{inicial}} = E_{c_{final}}\\\\E_{c_{inicial_{neutron}}} + E_{c_{inicial_{nucleo}}} = E_{c_{final_{neutron}}} + E_{c_{final_{nucleo}}}$

Considerando a energia cinética como

$E_c = mv^2/2$

, teremos:

$E_{c_{inicial}} = E_{c_{final}}\\\\E_{c_{inicial_{neutron}}} + E_{c_{inicial_{nucleo}}} = E_{c_{final_{neutron}}} + E_{c_{final_{nucleo}}}\\\\\frac{m_1v_0^2}{2} + 0 = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} \\\\m_1v_0^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2$

Substituindo o valor da velocidade V2 que calculamos anteriormente, em função de m1, m2, V0 e V1, ficaremos com:

$m_1v_0^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1v_1^2 + \frac{m_2m_1^2(v_0 - v_1)^2}{m_2^2} \\\\m_1v_0^2 = m_1v_1^2 + \frac{m_1^2(v_0 - v_1)^2}{m_2} \\\\m_1m_2v_0^2 = m_1m_2v_1^2 + m_1^2(v_0 - v_1)^2 = m_1m_2v_1^2 + m_1^2v_0^2 - 2m_1^2v_0v_1 + m_1^2v_1^2\\\\m_2v_0^2 = m_2v_1^2 + m_1v_0^2 - 2m_1v_0v_1 + m_1v_1^2\\\\m_2v_0^2 - m_2v_1^2 = m_1v_0^2 - 2m_1v_0v_1 + m_1v_1^2\\\\m_2*(v_0^2 - v_1^2) = m_1*(v_0^2 - 2v_0v_1 + v_1^2)$

Aplicando produtos notáveis em ambos os lados da igualdade:

$m_2*(v_0^2 - v_1^2) = m_1*(v_0^2 - 2v_0v_1 + v_1^2)\\\\m_2*(v_0 - v_1)(v_0 + v_1) = m_1*(v_0 - v_1)^2$

Cancelando V0 - V1 em ambos os lados:

$m_2*(v_0 - v_1)(v_0 + v_1) = m_1*(v_0 - v_1)^2\\\\m_2(v_0 + v_1) = m_1*(v_0 - v_1)\\\\m_2v_0 + m_2v_1 = m_1v_0 - m_1v_1\\\\m_2v_1 + m_1v_1 = m_1v_0 - m_2v_0\\\\(m_1 + m_2)v_1 = (m_1 - m_2)v_0\\\\v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0$

A proporção com que a energia cinética do nêutron diminuirá é dada pela seguinte relação:

$\frac{E_{c_{neuton_{final}}}}{E_{c_{neutron_{inial}}}} = \frac{(m_1v_1^2/2)}{(m_1v_0^2/2)} = \frac{v_1^2}{v_0^2} = (\frac{v_1}{v_0} )^2$

Substituindo a relação entre V1 e V0 que encontramos anteriormente, ficaremos com:

$(\frac{v_1}{v_0} )^2 = (\frac{\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0}{v_0} )^2 = (\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} )^2$

Lembrando que isso é válido apenas para

$v_0 - v_1 \neq 0\\\\v_0 \neq v_1$

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