Question

Determine a primitiva da função abaixo, utilizando o método da substituição

Answer 1

$\large\boxed{ \sf ln( |1 + e {}^{x} | ) + c}$

Explicação

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \bullet \: \: \int \frac{e {}^{x} }{1 + e {}^{x} } \: dx$

Para resolver este problema, vamos usar o método da substituição, que é usado quando há uma função e a derivada ao mesmo tempo dentro da integral, onde nomea-se uma função de variável qualquer, deriva-se e após tudo isso faz-se as devidas substituições.

Vamos nomear a expressão do denominador de n = 1 + e^x, já que a sua derivada resulta na expressão que se encontra no numerador.

$\sf n = 1 + e^{x} \: \: \to \: \: \frac{dn}{dx} = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx} (e^{x} ) \\ \\ \sf \frac{dn}{dx} = 0 + e^{x} \: \: \to \: \: \frac{dn}{dx} = e^{x} \: \: \to \: \: \underline{dn = e^{x}dx }$

Substituindo as informações obtidas:

$\: \: \: \: \: \: \: \sf\int \frac{e^{x} }{1 + e^{x} } dx \: \: \to \: \: \int \frac{1}{n} dn$

Como sabemos, a derivada de ln(x) é igual a 1/x, então quer dizer que a integral de 1/n é igual ao logaritmo natural do módulo de n.

$\sf \int \frac{1}{n} dn = \ln( |n| ) + c, \: mas \: n = 1 + e {}^{x} \\ \boxed{ \sf ln( |1 + e {}^{x} | ) + c} \: \: \:$

Espero ter ajudado