Question

Determine a posição relativa entre a circunferencia de equação x²+y²-6x-2y+6=0 e o ponto P(2,1)

Answer 1

{ y = x + 1 (I) 
....{x² + y² - 10x + 6y + 29=0 (II) 

Substituindo (I) em (II) 
x² + (x + 1)² - 10x + 6(x + 1) + 29 = 0 
2x² + 2x + 1 - 10x + 6x + 6 + 29 = 0 
2x² - 2x + 36 = 0 
x² - x + 18 = 0 

∆ = -284 

Answer 2

O ponto P está localizado dentro da circunferência.

Nesse tipo de questão o primeiro passo é verificarmos se o ponto P pertence à circunferência. Para isso vamos substituí-lo na equação da circunferência fornecida pela questão:

2² + 1² - 6*2 - 2*1 + 6 = 0

4 + 1 - 12 - 2 + 6 = 0

- 3 = 0

O que não é verdade, portanto P não pertence à circunferência. Agora vamos encontrar o centro da circunferência. Reorganizando a equação podemos ter:

x² - 6x + y² - 2y + 6 = 0

(x - 3)² - 9 + (y - 1)² - 1 + 6 = 0

(x - 3)² + (y - 1)² = 4

Logo o centro dela está em O(3,1) e seu raio vale r = √(4) = 2.

Agora vamos calcular a distância entre a origem e o ponto P:

$d_{PO} = d = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$

Como d < r, então o ponto P está dentro da circunferência.

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