Question

Determine a posição do ponto A (-7, 5) em relação a circunferência de equação x² – 6x + y² – 4y – 12 = 0.

( )Pertence

( )Interno

( )Externo

( )Paralelo

( )Perpendicular​

Answer 1

O ponto A é externo à circunferência porque a distância entre o ponto e o centro da circunferência é maior que o raio dela.

• Determinação do centro e do raio da circunferência

A equação geral de uma circunferência é dada por

$x^2+y^2+mx+ny+p=0$

Reordenando os termos da equação fornecida, temos

$x^2+y^2-6x-4y-12=0\\\\m=-6\\n=-4\\p=-12$

A partir da equação geral, podemos achar as coordenadas do centro e o raio através das seguintes equações:

$x_C=\dfrac{-m}{2}=\dfrac{-(-6)}{2}=\dfrac{6}{2}=3\\\\\\y_C=\dfrac{-n}{2}=\dfrac{-(-4)}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\\\\\r=\sqrt{x_C^2+y_C^2-p}=\sqrt{3^2+2^2-(-12)}=\sqrt{9+4+12}=\sqrt{25}=5$

Logo, a circunferência tem centro no ponto C(3, 2) e raio igual a 5.

• Calculando a distância entre dois pontos

A distância (d) entre os pontos pode ser calculado usando-se o Teorema de Pitágoras:

$d^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\\\\d^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\\\\d^2=(3-(-7))^2+(2-5)^2\\\\d^2=(3+7)^2+(2-5)^2\\\\d^2=10^2+(-3)^2\\\\d^2=100+9\\\\d^2=109\\\\d=\sqrt{109}\\\\\boxed{d=10{,}44}$

• Conclusão

Portanto, como a distância entre os pontos é maior que o raio da circunferência, o ponto A é externo a ela.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/27928567