Question

Determine a parábola de equação y=ax^2+bx, cuja reta tangente em (1,1) tenha equação y= 3x-2.

Answer 1

 Olá,

 Dada a equação $f(x)=ax^2+bx$, a equação da reta tangente no ponto $(p,f(p))$ é dada por $f(x)=f'(x)(x-p)+f(p)$.

Temos que:

f(x) = ?
f'(x) = 2ax + b ==> f'(1) = 2a . 1 + b ==> f'(1) = 2a + b
(x - p) = x - 1
f(p) = f(1) ===> f(1) = a . (1)² + b . (1) ==> f(1) = a + b

 Portanto,

$f(x)=f'(x)(x-p)+f(p)\\\\f(x)=(2a\cdot1+b)\cdot(x-1)+(a\cdot1+b\cdot1)\\\\f(x)=(2a+b)(x-1)+a+b\\\\3x-2=2ax-2a+bx-b+a+b\\\\3x-2=(2a+b)x-a\\\\\begin{cases} 2a+b=3\\-a=-2\Rightarrow\boxed{a=2}\end{cases}$
 
 Por conseguinte,

$2a+b=3\\2\cdot2+b=3\\4+b=3\\\boxed{b=-1}$


 Por fim, $\boxed{\boxed{f(x)=2x^2-x}}$