Question

determine a PA em que : a6 + a15 = -41 e a3+ a17= -38

U-R-G-E-N-T-E

Answer 1

Para determinar qual é a PA, vamos encontrar o primeiro termo e a razão dela.

O termo geral de uma PA é:

an = a1 + r(n - 1)

Logo:

a6 = a1 + r(6 - 1)

a6 = a1 + 5r

a15 = a1 + r(15 - 1)

a15 = a1 + 14r

a3 = a1 + r(3 - 1)

a3 = a1 + 2r

a17 = a1 + r(17 - 1)

a17 = a1 + 16r

Segundo o enunciado, temos:

a6 + a15 = -41

(a1 + 5r) + (a1 + 14r) = -41

2.(a1) + 19r = -41 (I)

e

a3 + a17 = -38

(a1 + 2r) + (a1 + 16r) = -38

2.(a1) + 18r = -38 (II)

Resolvendo o sistema formado por (I) e (II), encontraremos os valores de a1 e r.

Temos:

2.(a1) + 19r = -41 (I)

2.(a1) + 18r = -38 (II)

Subtraindo (II) de (I):

(I) - (II) =

2.(a1) + 19r - (2.(a1) + 18r) = -41 -(-38)

19r - 18r = -41 + 38

r = -3

Se r = -3, então a1 será:

2.(a1) + 19r = -41

2.(a1) + 19.(-3) = -41

2.(a1) - 57 = -41

2.(a1) = -41 + 57

2.(a1) = 16

a1 = 16/2

a1 = 8

Logo, essa PA possui primeiro termo a1 = 8 e r = -3. O termo geral dela será:

an = a1 + r(n - 1)

an = 8 + (-3)(n - 1)

an = 8 + (-3n + 3)

an = 11 - 3n

Answer 2

Dados:

a6 =  a1 + 5r

a15 = a1 + 14r

a3 = a1 + 2r

a17 = a1 + 16r

1° Equação:

a6 + a15 = -41

(a1 + 5r) + (a1 + 14r) = -41

2a1 + 19r = -41

2° Equação:

a3+ a17= -38

(a1 + 2r) + (a1 + 16r) = -38

2a1 +18r = -38

Com as 2 equações podemos montar um sistema.

2a1 + 19r = -41

2a1 +18r = -38  

Vamos multiplicar por - 1 a segunda equação.

2a1 + 19r = -41

-2a1 - 18r = 38

Agora somamos as 2 equações.

(2a1 - 2a1) + (19r - 18r) = (-41 + 38)

$\boxed{1r = -3}$

Vamos substituir o valor de r para encontrar a1.

2a1 + 19r = -41

2a1 + 19(-3) = -41

2a1 - 57 = -41

2a1 = 16

$\boxed{a1 = 8}$

Agora sabemos que sabemos a razão e o 1° número, podemos descobrir qualquer termo da PA usando sua fórmula:

$\boxed{an = a1+(n-1)r}$