Question

determine a PA de quatro termos cuja soma dos dois primeiros é 15 e dos dois ultimos é 51. contas!!!

Answer 1

Como não temos números, vou atribuir letras aos termos da pa.
Lembre-se que o segundo termo da pa é igual ao primeiro termo mais a razão.
Ex.: ( 2; 4; 6; 8) Essa é uma pa de razão 2. Assim o segundo termo (que é 4) é igual ao primeiro termo (que é 2) mais a razão, ou seja 4 = 2 + 2
Assim como 8 = 6 + 2 , sempre um termo é igual ao seu anterior mais a razão.

Nesse caso vou considerar os termos assim:  [ x ; x+r ; (x+r) +r ; (x+2r) + r ]
ajustando: ( x; x+r ; x+2r ; x+3r )

Como ele diz que a soma dos dois primeiros é 15, então temos:
x + x+r = 15 ⇒ 2x + r = 15

E como ele diz que a soma dos dois últimos termos é 51, temos:
 x+2r + x+3r = 51 ⇒ 2x + 5r = 51

Fazendo sistema:

2x + r = 15      ⇒ Essa eu multiplico por ( -1), já que vamos somar as duas e temos 2 icógnitas, temos que eliminar 1, para ficar mais fácil de saber o resultado das duas.
2x + 5r = 51


Ficará assim:
-2x - r = -15
2x + 5r = 51       

Somando-se as duas ficará assim:
4r = 36  ⇒ r = 9

Substituindo:  2x +r = 15  ⇒ 2x + 9 = 15 ⇒ 2x = 6 ⇒ x=3

Substituindo as icógnitas da pa temos:

(x ; x + r ; x + 2r ; x + 3r ) ⇒ ( 3; 12; 21; 30)

Answer 2

Numa PA o termo geral é an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo, n o número de termos e r a razão. A razão será a subtração de um termo pelo seu antecessor (r = a2-a1).
a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
.....................
- a soma dos dois primeiros é 15 => a1 + a2 = 15
- a soma dos dois ultimos é 51 => a3 + a4 = 51, foram o seguinte sistema e substituindo pelos termos gerais de cada, obtemos:
a1 + a2 = 15 => a1 + a1 + r = 15 => 2a1 + r = 15
a3 + a4 = 51 => a1 + 2r + a1 + 3r = 51 => 2a1 + 5r = 51, o novo sistema é:
.....................
a) 2a1 + r = 15 (-1) ====> -2a1 -   r = -15
b) 2a1 + 5r = 51 ======>  2a1 + 5r = 51
                                              4r = 36 => r = 9, substituindo em (a):
2a1 + 9 = 15 => 2a1 = 6 => a1 = 3
....................
substituindo nos termos gerais:
a1 = 3
a2 = a1 + r = 3 + 9 = 12
a3 = a1 + 2r = 3 + 2.9 = 21
a4 = a1 + 3r = 3 + 3.9 = 30
.....................
A PA é (3; 12; 21; 30)