Question

determine a P.A em que o vigésimo termo e 2 e a soma dos 50 termos iniciais e 650

Answer 1

Dados:
S(50) = 650
a20 = 2

A forma da soma dos termos de uma PA é:
Sn = (a1 + an) . n/2, porém temos uma propriedade na mesma que diz que a soma de dois termos equidistantes dos extremos são iguais a soma dos extremos, vou dar um exemplo com essa PA:

S(50) = (a1 + a50) . 50/2            só arrumar primeiro:                 
S(50) = (a1 + a50) . 25     Então, tipo, se eu usasse a2 e a49, como são                                                 equidistantes dos extremos também daria certo:

S(50) = (a2 + a49) . 25       e assim vai, poderia ser a3 + a49 que não                                                       mudaria nada, com base nisso vamos reescrevê-la usando o a20 como um dos termos, pois isso nos convém : 

S(50) = (a20 + a31) . 25            substituindo o que temos:
650 = (2 + a31) . 25
650/25 = 2 + a31
26 = 2 + a31
24 = a31                          

Note que em uma PA:
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r            e assim vai, então temos 2 dados importantes:

a20 = 2
a31 = 24          colocando em função do a1 formaremos um sistema de                                 equações lineares:

a1 + 19r = 2
a1 + 30r = 24               subtraindo uma da outra:
____________
-11r = -22
r =  -22/-11
r = 2

Agora voltando para qualquer das equações:
a1 + 30r = 24
a1 + 30.2 = 24
a1 + 60 = 24
a1 = 24 - 60
a1 = -36

Então agr para formarmos nossa PA, basta pegarmos o a1 e ir somando a razão (a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, etc...):

Então a PA ficaria (colocarei até o vigésimo termo):
-36,-34,-32,-30,-28,-26,-24,-22,-20,-18,-16,-14,-12,-10,-8,-6,-4,-2,0,2

Bons estudos