Determine a menor distância do ponto P(2, 1, −1) ao plano 4x − 3y + z = 56
e de o ponto do plano em que essa distância é mínima.
Soluções para a tarefa
Resposta:
d = sqrt (104)
Explicação passo-a-passo:
Resposta:
2*sqrt(26)
Explicação passo-a-passo:
Temos:
P(2,1,-1);
4x-3y+z= 56
A função a ser minimizada é a distância de um ponto (M) até o ponto P:
d(xyz) = sqrt ((x-2)²+(x-1)²+(z+1)²)
Minimizar a função da distância, é mesma coisa que minimizar o quadrado da função distância:
f(xyz) = ( (x - 2)²+(x - 1)²+(z +1 )² ) = d²
Então vamos minimizar essa função para os pontos restritos ao plano dado.
grad f(x,y,z) = [ 2*(x-2), 2*(y-1), 2*(z+1) ]
4x-3y+z-56 = 0 (i)
g(x,y,z) = 4x-3y+z-56
grad g(x,y,z) = [4, -3, 1]
grad f(x,y,z) = L * ( grad g(x,y,z) )
.:
2*(x-2) = 4*L .: x = 2L+2 (ii)
2*(y-1) = -3*L .: y = ((-3/2) *L) + 1 (iii)
2*(z+1) = L .: z = (L/2) - 1 (iv)
ii, iii, iv em i:
4*(2L+2) -3 * (((-3/2)*L) + 1) + (L/2) - 1 = 56
[8L + 8 + (9*L)/2 -3 + L/2 -1 = 56] (*2)
26*L = 104
.: L = 4 (o que elas chamam de lâmbida, ou a letra q vc quiser)
De ii, iii e iv em L:
x = 10
y = -5
z = 1
.: Ponto que minimiza a função, ponto (M):
M(x,y,z) = (10, -5, 1)
A menor distância entre os pontos será dada por:
d² = f(x,y,z) = ((x-2)²+(x-1)²+(z+1)²)
Calculando em relação à M, teremos:
f(10, -5, 1) = 64 + 36 + 4 = 104
d² = 104
d = sqrt (104)
ou
d = 2*sqrt(26)
ou
d = 10,1980
Escolhe o resultado q ela queira aí.
Obs.: "sqrt" é raiz, ou elevado à meio, "grad" é o gradiente (derivadas parciais em cada variável (dx, dy, dz)), "L" é o lâmbida.
Fiquei com preguiça de achar os símbolos, se alguem quiser reescrever bença pra você.