Question

Determine a medida do ângulo “x” no triângulo abaixo:

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em trigonometria.

Dado um triângulo de lados $a,~b$ e $c$, cujos ângulos opostos aos lados são, respectivamente, $\alpha,~\beta$ e $\gamma$, a seguinte proporção é válida:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.

Então, seja o triângulo da figura. Observe que temos a medida de um dos ângulos e dois dos lados do triângulo.

O outro ângulo será dado pela diferença entre $180º$, que é a soma dos ângulos internos de um triângulo simples e $45º+x$, que é a soma dos outros dois ângulos.

Assim, teremos:

$180º-(45º+x)\\\\\\ 180º - 45º - x\\\\\\ 135º - x$.

Agora, utilizamos a proporção apresentada anteriormente, conhecida como a lei dos senos.

$\dfrac{a\sqrt{2}}{\sin(45º)}=\dfrac{a}{\sin(135º-x)}$

Sabendo que $\sin(45º)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ e a fórmula para o seno da diferença de arcos é: $\sin(\alpha - \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)$, temos:

$\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{a}{\sin(135º)\cos(x)-\sin(x)\cos(135º)}$

Sabendo que $\sin(135º)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ e $\cos(135º)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, temos:

$\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\sin(x)}$

Multiplicando ambos os lados da equação por $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, temos:

$a\sqrt{2}=\dfrac{a}{\cos(x)+\sin(x)}$

Divida ambos os lados da equação por $a,~a\neq0$ e isole a equação trigonométrica

$\sqrt{2}=\dfrac{1}{\cos(x)+\sin(x)}\\\\\\ \cos(x)+\sin(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Eleve ambos os lados da equação à segunda potência

$(\cos(x)+\sin(x))^2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\\\\\\ \cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)=\dfrac{1}{2}$

Lembre-se que $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ e $2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)$, logo teremos:

$1+\sin(2x)=\dfrac{1}{2}$

Subtraia $1$ em ambos os lados da equação

$\sin(2x)=\dfrac{1}{2}-1\\\\\\ \sin(2x)=-\dfrac{1}{2}$

Calcule o arcoseno em ambos os lados da equação

$\arcsin(\sin(2x))=\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

Lembre-se que $\arcsin(\sin(x))=x$ e $\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}$. Assim, teremos:

$2x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi$

Calculamos a primeira determinação positiva do ângulo, fazendo $k=0$

$2x=\dfrac{7\pi}{6}$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x=\dfrac{7\pi}{12}$

Convertendo para graus, temos:

$x=\dfrac{7\pi}{12}\cdot\dfrac{180º}{\pi}\\\\\\ x =105º$

Este é o valor do ângulo que buscavámos.