Determine a medida do ângulo do setor circular correspondente à superfície lateral de um cone de altura 8 e base de raio 6.
Alternativas:
a.325º
b.148º
c.216º
d.36º
e.196º
Soluções para a tarefa
Resposta:
Utilizando as formulações geometricas de cones, temos que:
Área lateral: A=12\piA=12π
Área da Base: A=4\piA=4π
Área total: A=16\piA=16π
Volume: V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=
3
16
π
2
Explicação passo-a-passo:
Como o cone aberto já é a área lateral, então basta encontrarmos a área desta seção de circulo, usando a formula:
A=R^2.\frac{\theta}{2}A=R
2
.
2
θ
Onde R é o raio e Ф é o angulo em radianos, neste caso 120º em radianos é 2π/3, então a área fica:
A=6^2.\frac{\pi}{3}A=6
2
.
3
π
A=12\piA=12π
Agora vamos encontrar a circunferência da base para encontrarmos a base. Note que o comprimento de circunferencia é dado pela formula:
C=\theta.RC=θ.R
No nosso caso novamente:
C=\frac{2\pi}{3}.6C=
3
2π
.6
C=4\piC=4π
A circunferência do setor circular aberto mede 4π, mas quando ele fechar o cone inteiro, então este comprimento vira a circunferência da base, então temos que:
C=2\pi.RC=2π.R
E como já sabemos o valor da circunferência:
4\pi=2\pi.R4π=2π.R
R=2R=2
Temos então que o raio da base mede 2, assim podemos encontrar sua área que é dada por:
A=\pi.R^2A=π.R
2
A=\pi.2^2A=π.2
2
A=4\piA=4π
Agora já temos também a área da base. Para encontrarmos altura basta utilizarmos pitagoras agora, pois o raio da base o raio da seção e a altura formam um triangulo retangulo de acordo com a figura:
6^2=h^2+2^26
2
=h
2
+2
2
h^2=36-4h
2
=36−4
h=\sqrt{32}h=
32
h=4\sqrt{2}h=4
2
Então com a altura consigos achar o volume pela formula:
V=\frac{1}{3}A_b.hV=
3
1
A
b
.h
V=\frac{1}{3}4\pi.4\sqrt{2}V=
3
1
4π.4
2
V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=
3
16
π
2
Então agora temos as coisas pedidas:
Área lateral: A=12\piA=12π
Área da Base: A=4\piA=4π
Área total: A=16\piA=16π
Volume: V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=
3
16
π
2