Question

determine a matriz inversa das seguintes matrizes b 3 2 7 5

Answer 1

Com o estudo sobre matriz inversa, temos $A^{-1}=\begin{pmatrix}5&-2\\ -7&3\end{pmatrix}$

Matriz inversa

Admitindo que $A^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ seja a inversa da matriz $A^{ }=\begin{pmatrix}3&2\\ 7&5\end{pmatrix}$ , devemos ter $A\cdot A^{-1}=I_n$, ou seja:

• $\begin{pmatrix}3&2\\ 7&5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

Multiplicando ambas as matrizes e igualando, teremos:

• $\begin{pmatrix}3a+2c&3b+2d\\ 7a+5c&7b+5d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

Igualando os elementos correspondentes, obtemos os sistemas de equações:

• $\begin{cases}3a+2c=1&\left(I\right)\\ 7a+5c=0&\left(II\right)\end{cases}$

• $\begin{cases}3b+2d=0&\left(III\right)\\ 7b+5d=1&\left(IV\right)\end{cases}$

Por (I) e (II), teremos

• $\mathrm{Substituir\:}a=\frac{1-2c}{3}$

• $\begin{bmatrix}7\cdot \frac{1-2c}{3}+5c=0\end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix}\frac{7+c}{3}=0\end{bmatrix}\\\\c=-7$

• $\mathrm{Para\:}a=\frac{1-2c}{3}$

• $\mathrm{Substituir\:}c=-7$

• $a=\frac{1-2\left(-7\right)}{3}$

• $a=5$

Por (III) e (IV), teremos

• $\mathrm{Substituir\:}b=-\frac{2d}{3}$

• $\begin{bmatrix}7\left(-\frac{2d}{3}\right)+5d=1\end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix}\frac{d}{3}=1\end{bmatrix}\\\\d=3$

• $\mathrm{Para\:}b=-\frac{2d}{3}$

• $\mathrm{Substituir\:}d=3$

• $b=-\frac{2\cdot \:3}{3}$

• $b=-2$

Com isso temos a matriz inversa

$A^{-1}=\begin{pmatrix}5&-2\\ -7&3\end{pmatrix}$

Saiba mais sobre matriz inversa:https://brainly.com.br/tarefa/3418214

#SPJ11