Question

Determine a matriz inversa da matriz $G = \left[\begin{array}{ccc} \ \ 3&-1\\-5& \ \ 2\\\end{array}\right]$

Answer 1

A matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem 2 pode ser achada por:

$\boxed{\boxed{A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\cdot adj(A)}}$

Onde adj(A) é a matriz adjunta de A, que pode ser encontrada invertendo a ordem dos elementos da diagonal principal e trocando os sinais dos elementos da diagonal secundária (Só serve se a matriz tiver ordem 2)
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Achando o determinante de G:

$det(G)=[3\cdot2]-[(-1)\cdot(-5)]\\det(G)=6-5\\det(G)=1$

Achando a matriz adjunta de G:

$adj(G)=\left[\begin{array}{cc}2&1\\5&3\end{array}\right]$

Então, a inversa de G será:

$G^{-1}=\dfrac{1}{det(G)}\cdot\left[\begin{array}{cc}2&1\\5&3\end{array}\right]\\\\\\G^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot\left[\begin{array}{cc}2&1\\5&3\end{array}\right]\\\\\\\boxed{\boxed{G^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2&1\\5&3\end{array}\right]}}$