Question

Determine a Matriz B[bij]3x3, em que bij= i sobre j. Que elementos pertencem a diagonal principal e secundária de B? E usando o teorema de Laplace e Regra de Sarrus, calcule o valor do determinante.

Answer 1

Resposta:

Det(B) = 0

Explicação passo-a-passo:

Segundo a regra de Sarrus temos que para encontrarmos a determinante de uma matriz $B_{xn}$ tal que x=n (ou seja, uma matriz quadrada) devemos adicionar n-1 colunas à direita da matriz sendo elas cópias das n-1 primeiras colunas de tal forma que nossa determinante será a soma das n diagonais multiplicativas, começando no termo a11, subtraído da soma das outras n diagonais multiplicativas, começando no termo a1n.

Começaremos escrevendo nossas n-1 colunas a mais à direita.

$B_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{1}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\\\frac{2}{1}&\frac{2}{2}&\frac{2}{3}\\\\\frac{3}{1}&\frac{3}{2}&\frac{3}{3}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{1}&\frac{1}{2}\\\\\frac{2}{1}&\frac{2}{2}\\\\\frac{3}{1}&\frac{3}{2}\\\end{array}\right]$

Em seguida, vamos registrar as diagonais multiplicativas que iremos somar. Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser somada.

$B_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{1}&.&.\\\\.&\frac{2}{2}&.\\\\.&.&\frac{3}{3}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&.\\\\.&.\\\\.&.\\\end{array}\right]$

$Det(B)\ =\ \frac{1}{1}*\frac{2}{2}*\frac{3}{3}\ +$

Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser somada.

$B_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}.&\frac{1}{2}&.\\\\.&.&\frac{2}{3}\\\\.&.&.\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&.\\\\.&.\\\\\frac{3}{1}&.\\\end{array}\right]$

$Det(B)\ =\ \frac{1}{1}*\frac{2}{2}*\frac{3}{3}\ +\ \frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{1}\ +$  

Esta será nossa terceira diagonal multiplicada a ser somada.

$B_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}.&.&\frac{1}{3}\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&.\\\\\frac{2}{1}&.\\\\.&\frac{3}{2}\\\end{array}\right]$

$Det(B)\ =\ \frac{1}{1}*\frac{2}{2}*\frac{3}{3}\ +\ \frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{1}\ +\ \frac{1}{3}*\frac{2}{1}*\frac{3}{2}\ -$

Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser subtraída.

$B_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&\frac{3}{1}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&\frac{1}{3}\\\\\frac{2}{2}&.\\\\.&.\\\end{array}\right]$

$Det(B)\ =\ \frac{1}{1}*\frac{2}{2}*\frac{3}{3}\ +\ \frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{1}\ +\ \frac{1}{3}*\frac{2}{1}*\frac{3}{2}\ -\ \frac{1}{3}*\frac{2}{2}*\frac{3}{1}\ -$

Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser subtraída.

$B_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&\frac{2}{1}\\\\.&\frac{3}{3}&.\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&.\\\\.&.\\\\.&.\\\end{array}\right]$

$Det(B)\ =\ \frac{1}{1}*\frac{2}{2}*\frac{3}{3}\ +\ \frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{1}\ +\ \frac{1}{3}*\frac{2}{1}*\frac{3}{2}\ -\ \frac{1}{3}*\frac{2}{2}*\frac{3}{1}\ -\ \frac{1}{2}*\frac{2}{1}*\frac{3}{3}\ -$

Esta será nossa última diagonal multiplicada a ser subtraída.

$B_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}.&.&\frac{1}{3}\\\\.&\frac{2}{2}&.\\\\\frac{3}{1}&.&.\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&.\\\\.&.\\\\.&.\\\end{array}\right]$

$Det(B)\ =\ \frac{1}{1}*\frac{2}{2}*\frac{3}{3}\ +\ \frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{1}\ +\ \frac{1}{3}*\frac{2}{1}*\frac{3}{2}\ -\ \frac{1}{3}*\frac{2}{2}*\frac{3}{1}\ -\ \frac{1}{2}*\frac{2}{1}*\frac{3}{3}\ -\ \frac{1}{1}*\frac{2}{3}*\frac{3}{2}$

Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

$Det(B)\ =\ \frac{6}{6}\ +\ \frac{6}{6}\ +\ \frac{6}{6}\ -\ \frac{6}{6}\ -\ \frac{6}{6}\ -\ \frac{6}{6}$

Det (B) = 0

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Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦ "

"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."