Question

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ.

a) D = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = xy^2

b) D é a região triangular com vértices (0, 0),(2, 1),(0, 3); ρ(x, y) = x + y.

Answer 1

a) no primeiro para determinar a massa, usamos integral dupla

$\int _ {0}^{2} \int _ { - 1}^{1} x {y}^{2} dydx$

primeiro em y

$\int _ {0}^{2} x( \frac{ {y}^{3} }{3}) _ { - 1}^{1} dx$

y³/3]{-1}^{1}=2/3

colocando 2/3 para fora e resolvendo a integral ficamos com

2x²/6]{0}^{2}

x²/3{0}^{2}

4/3

massa=4/3

b) para calcular o centro de massa fazemos

p(0,0)=0

p(2,1)=3

p(0,3)=3

calculamos a média entre estes valores

0+3+3/3=2

centro de massa=2

Answer 2

No primeiro caso, a massa é 4/3 e o centro de massas está no ponto $(\frac{4}{3},\frac{3}{4})$, e no segundo caso, a massa é 6 e o centro de massas está em $(\frac{3}{4},\frac{3}{2})$.

Como se determinar a massa e o centro de massa no primeiro caso?

Tendo a função da densidade, e sabendo que a região é retangular com os limites especificados, é possível utilizar a integral dupla para obter a massa total da lâmina:

$M=\int\limits^1_{-1}\int\limits^2_0 {xy^2} \, dxdy=\int\limits^1_{-1} {[\frac{x^2}{2}]^2_0y^2} \, dy=2\int\limits^1_{-1} {y^2} \, dy=2[\frac{y^3}{3}]^1_{-1}=\frac{4}{3}$

Podemos aplicar outra integral dupla para calcular a abscissa do centro de massas, utilizando o conceito do centro de massas:

$x_{CM}=\frac{\int\limits^1_{-1}\int\limits^2_0 {x.\rho} \, dxdy }{M}=\frac{\int\limits^1_{-1}\int\limits^2_0 {x^2y^2} \, dxdy }{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\int\limits^1_{-1} {[\frac{x^3}{3}]^2_0y^2} \, dy =\frac{3}{4}.\frac{8}{3}\int\limits^1_{-1} {y^2} \, dy\\\\x_{CM}=2[\frac{y^3}{3}]^1_{-1}=\frac{4}{3}$

Utilizando este procedimento podemos calcular a ordenada do centro de massas:

$y_{CM}=\frac{\int\limits^1_{-1}\int\limits^2_0 {y.\rho} \, dxdy }{M}=\frac{\int\limits^1_{-1}\int\limits^2_0 {xy^3} \, dxdy }{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\int\limits^1_{-1} {[\frac{x^2}{2}]^2_0y^3} \, dy =\frac{3}{4}.2\int\limits^1_{-1} {y^3} \, dy\\\\y_{CM}=\frac{3}{2}[\frac{y^4}{4}]^1_{-1}=\frac{3}{4}$

Então, o centro de massas está no ponto $(\frac{4}{3},\frac{3}{4})$.

Como se achar a massa e o centro de massas da segunda lâmina?

Esta região é uma região triangular delimitada pelas seguintes retas:

• x=0;
• y=3-x;
• $y=\frac{x}{2}$.

A massa da lâmina pode ser calculada mediante a seguinte integral dupla:

$M=\int\limits^2_0\int\limits^{3-x}_{\frac{x}{2}} {x+y} \, dydx=\int\limits^2_0{[xy+\frac{y^2}{2}]^{3-x}_{\frac{x}{2}}} \, dx\\\\M=\int\limits^2_0{(x(3-x)+\frac{(3-x)^2}{2})-(x\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8})} \, dx\\\\M=\int\limits^2_0{3x-x^2+\frac{9-6x+x^2}{2}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{8}} \, dx\\\\M=\int\limits^2_0{\frac{24x-8x^2}{8}+\frac{36-24x+4x^2}{8}-\frac{4x^2}{8}-\frac{x^2}{8}} \, dx=\frac{1}{8}\int\limits^2_0{36-9x^2} \, dx\\\\M=\frac{1}{8}[36x-3x^3]^2_0=6$

A abscissa do centro de massas da lâmina é:

$x_{CM}=\frac{\int\limits^2_0\int\limits^{3-x}_{x/2} {x(x+y)} \, dydx }{M}=\frac{\int\limits^2_0\int\limits^{3-x}_{x/2} {x^2+xy} \, dydx }{6}=\frac{\int\limits^2_0 [x^2y+x\frac{y^2}{2}]^{3-x}_{x/2} \, dx }{6}\\\\x_{CM}=\frac{1}{6}\int\limits^2_0 (x^2(3-x)+\frac{x(3-x)^2}{2})-(x^2\frac{x}{2}+\frac{x.x^2}{8})\, dx\\\\x_{CM}=\frac{1}{6}\int\limits^2_0 3x^2-x^3+\frac{9x-6x^2+x^3}{2}-\frac{x^3}{2}-\frac{x^3}{8}\, dx$

$x_{CM}=\frac{1}{6}\int\limits^2_0 \frac{24x^2}{8}-\frac{8x^3}{8}+\frac{36x-24x^2+4x^3}{8}-\frac{4x^3}{8}-\frac{x^3}{8}\, dx=\frac{1}{48}\int\limits^2_0 36x-9x^3\, dx\\\\x_{CM}=\frac{1}{48}[18x^2-\frac{9x^4}{4}]^2_0=\frac{3}{4}$

E a ordenada do centro de massas da lâmina é:

$y_{CM}=\frac{\int\limits^2_0\int\limits^{3-x}_{x/2} {y(x+y)} \, dydx }{M}=\frac{\int\limits^2_0\int\limits^{3-x}_{x/2} {yx+y^2} \, dydx }{6}=\frac{\int\limits^2_0 [x\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}]^{3-x}_{x/2} \, dx }{6}\\\\y_{CM}=\frac{1}{6}\int\limits^2_0 (x\frac{(3-x)^2}{2}+\frac{(3-x)^3}{3})-(\frac{x.x^2}{8}+\frac{x^3}{24})\, dx\\\\y_{CM}=\frac{1}{6}\int\limits^2_0 \frac{9x-6x^2+x^3}{2}+\frac{27-27x+9x^2-x^3}{3}-\frac{x^3}{8}-\frac{x^3}{24}\, dx$

$y_{CM}=\frac{1}{6}\int\limits^2_0 \frac{108x-72x^2+12x^3}{24}+\frac{216-216x+72x^2-8x^3}{24}-\frac{3x^3}{24}-\frac{x^3}{24}\, dx\\\\y_{CM}=\frac{1}{144}\int\limits^2_0 {216-108x} \, dx =\frac{1}{4}\int\limits^2_0 {6-3x} \, dx =\frac{1}{4}[6x-\frac{3x^2}{2}]^2_0=\frac{3}{2}$

O centro de massas está em $(\frac{3}{4},\frac{3}{2})$

Saiba mais sobre as integrais duplas em https://brainly.com.br/tarefa/51677044

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