Question

Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ(x,y)=2x+4y. Sabe-se que S={(x,y)/0≤y≤4 e 0≤x≤2y}
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Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Queremos determinar a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por $S$ e tem uma densidade de massa superficial $\delta(x,~y)=2x+4y$. Sabe-se que a região $S$ é definida por $S=\{(x,~y)~|~0\leq y\leq 4~e~0\leq x\leq 2y\}$.

Primeiro, lembre-se que a massa de uma lâmina que ocupa uma região $R$ no plano $xy$ cuja densidade de massa superficial é dada pela função $\delta(x,~y)$, sendo $R$ compreendida entre duas funções $x=f(y)$ e $x=g(y)$ em um intervalo $[a,~b]$ é calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\iint_R \delta(x,~y)\,dA=\int_a^b\int_{g(y)}^{f(y)}\delta(x,~y)\,dx\,dy$.

Assim, a massa da lâmina que ocupa a região $S$ será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^4\int_{0}^{2y}2x+4y\,dx\,dy$

Devemos calcular primeiro a integral interna, em respeito à variável $x$, em que as outras variáveis são consideradas constantes.

Para resolver a integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_0^4\left[\int_0^{2y}2x\,dx+\int_0^{2y}4y\,dx\right]\,dy}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int_0^4\left[2\cdot\int_0^{2y}x\,dx+4y\cdot\int_0^{2y}1\,dx\right]\,dy}$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$ e $1=x^0$

$\displaystyle{\int_0^4\left[2\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}+4y\cdot \dfrac{x^{0+1}}{0+1}~~\biggr|_0^{2y}\right]\,dy}$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$\displaystyle{\int_0^4\left[2\cdot \dfrac{x^2}{2}+4y\cdot \dfrac{x^1}{1}~~\biggr|_0^{2y}\right]\,dy}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^4\left[x^2+4yx~~\biggr|_0^{2y}\right]\,dy}$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^4(2y)^2+4y\cdot 2y-(0^2+4y\cdot0)\,dy}$

Calcule as potências, multiplique e some os termos

$\displaystyle{\int_0^44y^2+8y^2\,dy}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^412y^2\,dy}$

Aplique a regra da constante

$12\cdot\displaystyle{\int_0^4 y^2\,dy}$

Aplique a regra da potência

$12\cdot\dfrac{y^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^4$

Some os valores no expoente e denominador e multiplique os termos

$12\cdot\dfrac{y^3}{3}~\biggr|_0^4\\\\\\ 4y^3~\biggr|_0^4$

Aplique os limites de integração

$4\cdot4^3-4\cdot0^3$

Calcule as potências, multiplique e some os termos

$256~\bold{u.~m}$

Esta é a massa da lâmina que ocupa a região $S$ e é a resposta contida na letra e).

Answer 2

Resposta:

256

Explicação passo a passo:

Gabarito Estácio